MAITRE DE CONFÉRENCES A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE RENNES

VOLIME GRAND lN-8 (25Xl6) DK VII- [JN PAGES; 1 904 . - . . 3 fr. 5o C.

Préface.

Les vingt Leçons que comprend ce Cours ont été consacrées à l'étude du développement de la notion d'intégrale. Un historique complet n'aurait pu tenir en vingt Leçons; au.ssi, laissant de côté bien des résultais importants, je me suis lout d'abord limité à l'intégration des fonctions réelles d'une seule variable réelle; le lecteur pourra rechercher si les résultats indiqués se prêtent facilement à des généralisations. Puis, parmi les nombreuses définitions qui ont été successivement proposées pour l'intégrale des fonctions réelles d'une variable réelle, je n'ai retenu que celles qu'il est, à mon avis, indispensable do connaître pour bien comprendre toutes les transformations qu'a reçues le problème d'intégration et pour saisir les rapports qu'il y a entre la notion d'aire, si simple en apparence, et certaines déiinitions analytiques de l'intégrale à aspects très compliqués.

On peut se demander, il est vrai, s'il y o quelque intérêt à s'occuper de telles complications et s'il ne vaut pas mieux se borner à l'étude des fonctions ([ui ne nécessitent que des définitions simples. Cela n'a guère que des avantages quand il s'agit d'un cours élémentaire, mais, comme on le verra dans ces Leçons, si l'on voulait toujours se limiter à la considé- '■ation de ces bonnes fonctions, il faudrait renoncer à résoudre des problèmes à énoncés simples posés depuis longtemps. C'est pour la résolution <le ces problèmes, et non par amour des complications, que j'ai introduit

212 CHAPITRE YIII.

K(X, Y, Z) étant un polynôme s'annulant sur la courbe double. Pour cjue cette intégrale soit de seconde espèce, nous avons montré {loc. cit.) qu'il faut et il suffit que la fonction algébrique de Y,

soit la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z. Si le polvnome K n'était pas soumis à certaines conditions, par suite de la manière même dont il a été obtenu, il y aurait manifestement

conditions exprimant que l'expression (3) est la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z. Mais le polynôme K(X, Y, Z) se trouve soumis à certaines conditions. Pour approfondir davantage la question, remarquons que, l'intégrale double (2) étant de seconde espèce, tout résidu relatif à la courbe X =: o doit être nul. Parmi ces résidus se trouvent les m résidus correspondant à un petit cercle autour de X = o et à un très grand cercle dans le plan de la variable Y, ou plus exactement dans un feuillet de la surface de Riemann F(X, Y, Z) = o. iXous allons montrer que ces résidus sont nuls.