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mentionné que la série de groupes des n points devait correspondre uniformément à des fonctions abéliennes non dégéncrescentes. On pourrait s'airranchir de cette dernière restriction. On aurait toujours la surface F et 2« intégrales de diflérentielles totales relatives à celte surface, mais qui ne seraient plus alors nécessairement de première espèce. De plus, tandis que tout à Iheure une intégrale de diOerentielle totale relative à F devait nécessairement, quand on remplaçait les ; par leurs valeurs en (.r,, y,, z^). ..., (.r„, ■)'„. z„), se ramener à la forme

conséquence nécessaire de ce que lintégrale est de première espèce, maintenant Tintégrale transformée pourrait « /?/7o/7 être delà forme

j p, dx, -r- O , ./.-i - p. d.r, ^^ Q, dy,-^...^ P„ dx„ - Q„ dy,,

les P et Q dépendant ralionnellement de l'ensemble des coordonnées ( j;,, r,, ;, ), . . . , (./•„, }',j, ::„) ; on aurait là une intégrale de différentielle totale niêlrc relative à n jjoints arbitraires de la surface et symétrique par rapport à ces n points. Quoi qu'il en soit, il y a là un point à discuter, et d'une manière plus générale ces intégrales mêlées peuvent présenter quelque intérêt.

6. On peut encore se poser une autre question. En restant dans lecas des fonctions abéliennes non dégénérescentes, on pourrait considérer une fonction algébrique de trois variables indépendantes donnée ])ar une équation

et se poser pour cette liypersurface le problème que nous avons traité pour les surfaces de l'espace à trois dimensions : existe-t-il sur certaines hypersurfaces algébriques des séries de groupes de n points, dépendant de on paramètres et correspondant uniformément à des fonctions abéliennes (non dégénérescentes) de in paramètres. La parité du nombre des variables indépendantes jouait un rôle important dans la démonstration qu'on a lue plus haut; ici, avec trois variables indépendantes au lieu de deux, la démonstration du théorème (à supposer qu'il soit exact) devra être assez notablement modifiée. La même cjueslion se pose pour les fonctions algébriques d'un nombre impair quelconque de variables indépendantes.

FONCTIONS ItATIONNI-I.I.KS DK TROIS VAUlAItl.ES TOMI'LEXES. ^-^