Considérons donc la surface
f{T^ y, 5) = o (de degré /»),
el, en supposant n supérieur à un^ soient (a'i, >'j, ^,), ..., {x,,^ y,i, z,i) les coordonnées de n points arbitraires de la surface. Désignons par
îli Çîi • • • , Ç2H + 1
2// + I fonctions rationnelles symétriques des {x, y. c). prises d'ailleurs arbitrairement, oh aura une hypersurface
dans l'espace à in +i dimensions, et, de plus, puisque les fonctions symétriques ç sont arbitrairement choisies, cette surface correspondra uniformément au groupe des n points.
D'après les hypothèses faites, les coordonnées d'un point arbitraire de la surface F s'exprimeront uniformément par des fonctions abéliennes de 1/1 variables ?/,, //.^i • • • ■> if-m- I-a notion de genre géométrique s'étend immédiatement des surfaces de l'espace à trois dimensions aux hypersurfaces dans l'espace à un nombre quelconque de dimensions. Notre surface F ne pourra posséder qu'une seule intégrale multiple de première espèce d'ordre in^ et cette intégrale correspondra à l'intégrale multiple
/ I . . . I dui dui . . . du 21, ;
le genre géométri(|ue de la surface F est donc égal à u/i. De plus, la surface F aura 2/1 intégrales de diflérenlielles totales de première espèce, dont l'inversion donnera les ç en fonctions abéliennes des u.
IMl>OSSIBirjTI> DK GROLI'KS 1)1: l'OI.MS SI » IM- SI KFACIC A ÎJiKItRIQl E. \~ l
A clia(|ue intégrale de tliUéreiitielIe totale de première espèce de la surface F correspond une intégrale de difFérentielle totale de première espèce de la surface / et inversement. Il en résulte (pie la surface/ possédera in intégrales de dilTérentielles totales de première espèce linéairement indépendantes
/ P, dx -h Q, dy ( / = I , A,
les P et Q étant rationnelles en ,r, y et z; ces 2/1 intégrales auront .\ n périodes. On voit de plus aisément, à cause de la symétrie des ; par rapport à (j?,, >',, Zi), . . ., (.r„, /„, z„), que le groupe des /i points sera donné par les 2/1 équations
) V 1\( ,r/,, )■/„ z/, » dxu -h Q,i-rh,y/,, zn)dyi, = dut (i — \ , -2, . . . , i n ).
3. Ceci posé, montrons que la surface / ne peut être d'un genre géométrique supérieur à l'unité. Soit, en elTet,
ir^
fz
une intégrale double de première espèce de /. Formons l'intégrale multiple d'ordre 2 n
.,'.'""," dxi dyi . ..dx„ dy„,
où S,- et Z^. désignent respectivement S (^/, r,-, Zj) et /:,('^'n Jo '-i)- On peut écrire
dx, dv\. . .dx,, dy II =
D(j-i,ji, ...,:>•«)
le dénominateur étant le déterminant fonctionnel de ^,, ç., • • •. \in par rapport aux 111 variables indépendantes a',, j'i, .... .r„, )'„. Or il est aisé de vérifier que ce déterminant fonctionnel est une fonction rationnelle et symétrique de (-r,, ji,-i)) •••! (-«?«' /n, -«)• C'est évidemment une fonction rationnelle et, pour voir qu'elle est symétrique, il
suffit de remarquer que le déterminant
hi h, . . . /),„
OÙ les lettres (V/, b, ...,/) sont en nombre «, ne change pas si l'on permute entre eux deux couj^les de lignes associées, par exemple si Ton permute les lignes (a, a') et les lignes (6, h'). On remarquera que pareille circonstance ne se présenterait pas dans le cas d'une courbe, et d'une manière plus générale dans le cas d'une fonction algébrique d'un nombre impair de variables indépendantes. Il résulte de là que l'intégrale (3 ) est de la forme
e c/;! (/;2- • -diini
OÙ 0 est une fonction rationnelle symétrique de (.^'i, T'i, ^i), • • • , (.ï"„, j'„, z,i) et, par suite, une fonction rationnelle de £,, ^o? • • -i ?2«+i- Elle est donc une intégrale multiple d'ordre in de première espèce pour F. Si /'est de genre supérieui- à ////, il est clair alors que l'on pourra former pour l'hjpersurface F plus d'une intégrale multiple d'ordre 2 « de première espèce, ce qui est en opposition avec ce que nous avons dit plus haut.
k. Le genre géométrique de f est donc au plus égal à un; mais, d'autre part, il ne peut être égal à zéro. Ou démontre en effet {voir t. I, p. i3-) que si
j Pida^-r-Q / dy e l T P /, dx + Q /, dy
sont deux intégrales de dilTérentielles totales de première espèce relatives à la surface/, on a l'identité
l*/Q/t-PAQ/
oùM(x, j, z) est un polynôme adjoint d'ordre m — 4i c'est-à-dire
IMPOSSIBILITE IH; (ilUilIM-S DK l'DIMS SIK l NK SLKFACK AIJifilîIJIOL K. i' h
un polviKune tel ([ue linléirrale double
dx dy
est de première espèce. Si le genre i;éoint''tri(|ue de / fiait nul, on aurait nécessairement
j)ar suite, les 2 « intégrales (i) seraient fonctions les unes des autres, et les "xn équations ( 2 i ne pourraient être distinctes.
En désignant donc, comme |)lus haut, par (a) l'intégrale double de première espèce relative à la surface /de genre un. nous aurons les
identités
P/Qx — I'/iO/ = A/^
les A;/, étant des constantes qui ne sont pas toutes nulles. On peut supposer A,/, difTérent de zéro pour /= i , /. =: 2 : nous écrirons
C étant une constante dillérenle de zéro, et soient
Si^y-. y. z\
A et B étant deux, constantes. De ces identités ou conclut
AP, — Bp2-^<d'3 = 0.
AQi— BQo-H C(,»3= <).
et ces relations sont inadmissibles, puisque les trois intégrales
/ p, dx -^ Q, dy. I Vi dx — ()■, dy, j P3 ^r ^ <,>;* <(r
sont linéairement indépendantes. .Nous arii\(uis donc à une contradiction, et, pa/- suite, on doit répondre jxir la négati\;e à la question posée au n° 1.
o. La ([ueslion que nous venons de traiter soulève d'autres problèmes (|u'il serait intéressant d'examiner. Il a été expressément
