D =— 4 PT

Si - Or,onan—2i+i1>

5 LA moindre que —

25. Considérons encore une variété V, qui, comme nous venons de le dire, peut être considérée comme l'intersection commune de n — 1 variétés V,,.Je dis que, si toutes ces variétés forment frontière, la variété V, formera frontière. Soient

1 2 In —1 VE? V6 GC) VE

nos » —1 variétés, ct envisageons les intersections de la première de ces variétés avec toutes les autres. Nous obtiendrons ainsi ñ — 2 groupes de variétés V,», qui n'auront en commun que la variété V,, et chacun d’eux formera frontière sur E,. En continuant ainsi de proche on voit que, finalement, V, pourra être considéré comme l'intersection commune de deux groupes de

variétés Vo, QUES)

qui forment respectivement frontière sur E,. D'ailleurs, une des variétés V} ne peut avoir en commun, avec le groupe des autres (V5) que la variété V,; donc, toute courbe fermée tracée sur V! doit couper (V;) et, par suite, V,, en un nombre pair de points, et la proposition est établie.

Au lieu d’une seule variété V,, on aurait pu considérer un groupe de ces variétés, et la conclusion est encore la même.

Plus généralement, si l’on envisige un groupe de variétés

nn :

N7 (i£2) comme l'intersection commune à r — 21—+1 Variétés

dre 2 À . :

Va VE, INR (À VO TE E)S

on démontre, sans changer en rien du raisonnement précédent, que, si toutes ces vartétés forment frontière, le groupe des variétés V; formera frontière.

La conclusion finale de cette proposition est que, st un groupe de variétés V; ne forme pas frontière, l’une au moins des variétes V,; qui le contient ne forme pas frontière.

26. Ces préliminaires étant posés, proposons-nous de démontrer légalité P1 = Pn—1:

Il est d’abord très facile de voir qu'entre p, et p,, existe la relation

Die Pr.

Considérons, en effet, les ps, — 1 — À variétés d’ordre x — 1, À VER MT Son ire

qui ne forment pas frontière sur E,. On pourra passer, par une courbe continue Cf, d’un point situé d’un côté de la variété Vé. à un point situé de l’autre côté, sans rencontrer aucune des autres variétés V,,. Soient

les À courbes que l’on peut ainsi tracer pour chacune des À variétés V,,. Par les courbes C, on pourra faire passer une variété fermée à deux dimensions, soit V,, comprise dans E,. Chacune des variétés Vh, coupera cette surface suivant au moins une courbe, dont l’une, que je désigne par Té pour la variété V'., passe par le point correspondant. Il est clair que l' ne rencontre C£ qu'en un seul point. Donc les Cf ne forment pas frontière sur V,, c’est-à-dire sur toute surface fermée qui les contient, et par suite sur E,. On en conclut

Di Pr.