PAP

et pour les variétés à quatre dimensions

Pi = P3:

29. C’est là un cas particulier d’un théorème général dont l’é-

noncé est que : Pour une te Ree les nombres de Betti e salement distants des extr êmes sont é égaux. Ainsi, en désignant par E, une variété fermée d’un nombre quelconque d Jimen e

on a d’une manière générale Pr = Pr-m:

Nous allons démontrer ce théorème pour m»m—1, mais faisons d’abord quelques remarques générales relatives à l’intersection de deux variétés fermées. Dans ce qui suit nous désignerons par le symbole (V;) un groupe de variétés d'ordre £.

23. Deux variétés fermées V,», V x comprises dans E,.se couperont en général suivant une variété d'ordre r — } — k, mais cel ordre pourra être plus élevé si elles appartiennent toutes deux à une variété V,, comprise dans E,.

On en conclut que, dans une variété E,, on pourra toujours disposer des variétés V; et Vy de manière qu’elles ne se coupent pas, si la somme # + Æ est inférieure à n.

Si l’on considère un certain nombre de variétés de mêmes di-

m *s ON peut toujours,

mensions comprises dans E,, soit V},,

au moyen de ces variétés, en former une seule, en les réunissant deux à deux par une variété du même ordre dont toutes les dimensions, sauf une, sont très petites.

2 e 7 , et V>, comprises dans E,

24. Deux variétés du même ordre V ont en général comme intersection un groupe de variétés (V'), dont l’ordre est au plus égal à » — 1. Ce groupe formera frontière si les deux variétés V}, et V;, Wh»4 sur laquelle l’une d’elles, soit V},, forme frontière : en effet toute courbe fermée appartenant à W,, et en particulier à V?, doit couper V}, et par suite (V') en un nombre pair de points. Ainsi, lorsqu'une variété V,, ne forme pas frontière dans E,,

elle ne peut être considérée comme l'intersection unique de deux

appartiennent à une même variété

variétés fermées formant frontière, comprises dans E, : elle ne peut être que l'intersection unique de deux variétés ne formant pas frontière.

Nous admettrons que, dans une variété E,, on puisse toujours, en vertu de la continuité et de la connexion linéaire, considérer une variété V, comme l'intersection commune unique de n—1 variétés V,, contenues dans E,. C’est ainsi que, dans l’espace à trois dimensions, on peut toujours, en général, par une

courbe faire passer deux surfaces qui ne se coupent que suivant cette courbe.

D'une manière générale, on peut toujours supposer qu’une variété V; est l'intersection commune unique de N— 211 variétés V,; comprises dans E,. En effet si, par la variété V;,on suppose menées k variétés V,;, elles se couperont, en général, suivant une variété d'ordre » — ki; on pourra faire en sorte qu'elles ne se coupent que suivant V; sin — ki<i, c’est-à-dire

» du moment que z est