Nous allons montrer que, réciproquement, on a

Pn12 Pi:

C’est la conclusion presque immédiate du lemme du n° 25. Soient VI, Va NN = 7: 1)

les p — 1 variétés qui ne forment pas frontière sur E,. Considérons deux de ces variétés V! et V?. Par chacune d’elles passe au moins une variété V,, qui ne forme pas frontière. Mais, si l’on considère le groupe des variétés V,, qui ont V} en commun, et le groupe des variétés V,, qui ont V} en commun, il y aura au moins deux de ces variétés, une dans chaque groupe, qui, prises ensemble, ne formeront pas frontière, car, s’il en était autrement, on pourrait, au moyen des variétés des deux premiers groupes, former un troisième groupe de variétés dont chaque élément formerait frontière, et qui auraient en commun les deux variétés V, et V, ne formant pas frontière, ce qui est impossible. En continuant de proche en proche le même raisonnement, on en conclut

Pn-12 pi; d’où l’égalité Pnr—1— Pi.

Dans son Mémoire sur l’Analysis situs, que nous avons cité plus haut, M. Poincaré a donné une démonstration générale de l'égalité Dr — Pn-m (p- 33 à 46). Sa démonstration repose sur des considérations entièrement différentes, mais peut-être plusieurs points auraient-ils besoin d’être complétés. Aussi, avons-nous suivi une autre voie, mais nous avons dû nous limiter au cas de M — 1.