DES INTÉGRALES DE FONCTIONS RATIONNELLES DE DEUX VARIABLES COMPLEXES

I. — Des intégrales doubles de fonctions de deux variables complexes. Extension du théorème de Cauchy, d’après M. Poincaré.

1. En désignant par F(x,y) une fonction analytique de deux variables complexes x et y, cherchons d’abord ce que l’on doit entendre par l'intégrale double

(1) JFG dx dy.

Cette expression n’a en elle-même aucun sens, mais il n’y a aucune hésitation à avoir sur la définition à adopter. Posons

CRETE TER V = L3+ iT

el considérons Z4, Z», æ3, æ, Comme fonctions de deux paramètres u et #; soit À une certaine aire dans le plan (w,v). L'intégrale

f° F(x, Noa EI) qu do

sera, par définition, la valeur de l'intégrale (1) étendue à la portion de la surface de l’espace à quatre dimensions (x,,%»,%3,%:) qui correspond à l'aire À du plan (4,6). Si l’on permute x et y, on aura une seconde intégrale égale et de signe contraire ; d’après nos conventions antérieures sur les intégrales multiples des espaces à un nombre quelconque de dimensions, nous regardons cette

seconde intégrale comme étendue à l’autre côté de la surface. Mettons en évidence la partie réelle et la partie imaginaire de

l'intégrale; en remplaçant x et y par leurs valeurs, et posant F=P+ 10)