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5o CHAPITRE Ill.

on obtient

D(æ1,%3) D(x2,%) "ND (re DE TE) INRA ee eme Loue renal eé

Nous avons donc, pour la partie réelle et pour le coefficient de ?, les deux intégrales de surface

1f Pda; dx; — dr:dx,) — Q(dx: dxs+ dx;dæ,), JF Que des— dede) + P (dede; + dridm),

intégrales de même forme que celles qui ont été étudiées au Chapitre I* (n° 11). Ceci étant bien compris, cherchons avec M. Poincaré si l’on peut étendre, à ces intégrales doubles, le théorème fondamental de Cauchy. En d’autres termes, l’intégrale double ci-dessus reste-t-elle invariable quand on déforme la surface d’intégration en la faisant toujours passer par le même contour?

Nous allons voir que la réponse est affirmative, c’est-à-dire que les conditions trouvées au paragraphe précédent sont vérifiées. Prenons la première de ces intégrales

il P(dx; dxs— dx: d2,) — Q(dr:dxr3+ dr; dx,).

Si nous l’écrivons, comme plus haut, sous la forme

TES dr; dæy,

on doit poser

b A3 = — A3 re Au = — Aus = — 2 Q As3—=— A3 = — = Q Au=—Ay=— me

et tous les autres A sont nuls.

Or, nous avons 101 quatre conditions à vérifier, puisque quatre

DES INTÉGRALES DE FONCTIONS RATIONNELLES. 51 est le nombre de combinaisons de quatre lettres Lrois à trois. Soit d’abord la condition