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elle se réduit à 0Q oP

Se — 0 0®: 0T J

et celte condition est vérifiée puisque P+:Q est une fonction analytique de +, + 1x2. Prenons encore

07, CEA ” Ô0T2 + Elle se réduit à oP 2Q Er 0x1 Ch ?

condition qui est également salisfaite. On s’assurera de la même manière que les deux conditions restantes sont vérifiées. Il en est aussi de même pour la seconde intégrale : nous pouvons donc affirmer que le théorème de Cauchy s'étend aux intégrales doubles.

2. Le théorème de M. Poincaré, que nous venons d’établir, peut, comme dans le cas d’une seule variable, s’'énoncer sous une autre forme. Considérons dans l’espace à quatre dimensions (ti, Le, æ3, T1) Une surface fermée; "une telle surface, "par exemple, pourra être obtenue en prenant

Ti= pu, ®), (ê=1,2,3,4),

les © étant des fonctions de w et», périodiques par rapport à w et par rapport à v. Supposons que cette surface se déforme d’une manière continue et puisse ainsi être réduite à un point ou à une ligne de telle manière que, pour l’ensemble des valeurs de x et y rencontrées par la surface pendant cette déformation, la fonction F ne cesse d’être bien déterminée et continue. La valeur de l'intégrale ne changera pas pendant celte déformation; elle ne pourra donc être que zéro, puisque l'aire de la surface d’intégration tend vers zéro. Nous pouvons donc dire que, sous les condi-

tions indiquées, l'intégrale double

[ren dx dy,

étendue à une surface fermée, est nulle.

II. — Des résidus des intégrales doubles de fonctions rationnelles (1).

3. Si une surface fermée ne peut être réduite à un point ou à une courbe, par une déformation continue, sans rencontrer des

systèmes de valeurs de zet de y, pour lesquelles F(x, 7) devienne infinie ou indéterminée, la valeur de l’intégrale pourra être différente de zéro : on appelle alors cette valeur un résidu de l’intégrale double. Dans ce qui va suivre, nous nous bornerons au cas où le continuum d'intégration reste tout entier à distance finie. Prenons d’abord un exemple très simple; soit l'intégrale

P(æ, y) étant une fonction holomorphe de x et y dans le voisinage de æ—0, y —0. Je considère la surface définie par les

deux équations æ = R eui, DA NEn

les paramètres réels z et # variant de o à 27 : c’est une surface fermée. La valeur de l'intégrale sur cette surface est

2T 2T = ui 4 P(Rexi, R'e°i) du dy, 0 0

dont la valeur est manifestement — Âr?P(0, 0).

On aurait pu prendre, comme surface d'intégration, l’ensemble

(*) La notion de résidu des intégrales doubles de fonctions rationnelles est due à M. Poincaré (Sur les résidus des intégrales doubles, Acta mathematica t. 11). Le point de vue auquel nous nous plaçons ici est celui qui à été ado té par M. Picard, dans son Mémoire sur les fonctions algébriques de deux (Journal de Mathématiques, 1889), dans le tome II de son 7raité Fe ‘se (p. 256), et dans le tome CXXIV des Comptes rendus. k

de deux courbes fermées C et C/ entourant une fois l’origine dans les plans respectifs des variables x et y. Le résultat aurait été le même. Suivant le sens d'intégration sur les deux courbes Get C?, on peut obtenir des résultats de signes différents.

L'intégrale double 4h rs dx dy

nous donne, dans les mêmes conditions,

27 ,h2T Reis [ f P(Revi, R'evi) e—Un-tllui e—(n—1)vi du dv, Ai) 220

et, en développant P(x, y) suivant les puissances de x et y, il restera simplement, comme valeur de l'intégrale,

AT? om+n—2 P as (m—i)!(n—:)! = He.