LUS

4. Présentons immédiatement quelques considérations générales. Soit l'intégrale [RES dx dy, NEA) #

P et À étant deux polynomes en x et y, réductibles ou irréducübles. Pour une valeur donnée à y, l'équation en x

a un certain nombre de racines. Traçons dans le plan de la variable x un contour fermé C contenant à son intérieur un certain

nombre de racines Di, Lo, ..., To

de l’équation précédente. Quand y varie d'une manière continue, les æ varient d’une manière continue; déformons en même temps d’une manière continue le contour C de manière que les racines Lis Los --., A restent toujours à son intérieur et que les racines de l'équation A, primitivement extérieures à C, lui restent toujours extérieures. Supposons que la variable y décrive alors dans son plan un contour fermé T tel que, quand elle revient au point de départ, les racines æ4,, æ&», ..., æ, reprennent la même valeur ou soient seulement permutées entre elles, et que le con-

tour G puisse à l’arrivée reprendre la même position qu au départ. Dans ces conditions, l’ensemble des courbes C, correspondant aux divers points de l, peut être regardé comme formant un continuum fermé à deux dimensions dans l’espace à quatre dimensions. La fonction rationnelle

Pt 2)

A(Z, y) reste finie pour tous les points de celte surface, et la valeur correspondante de l'intégrale double est en général différente de zéro.

5. Faisons une première application de ces généralités. Nous envisageons l'intégrale

P(x,y) Jfenrentr

Q et R étant deux polynomes, et nous supposons que le point æ— 0,7 —0 soit un point simple de rencontre des deux courbes

Q—=oetR— 0. Pour une valeur de y voisine de zéro, l’équation Q — o à une racine x, voisine de zéro, et l'équation R = o une racine æ, voisine de zéro, de telle sorte que

O(wr, mn), R(x,Y) = 0.

Prenons comme courbe C une courbe dans le plan des x entou-

Fig. 8.

° La

rant æ, et laissant æ, à Son extérieur. Quand la variable y décrit autour de l’origine une courbe fermée T suffisamment petite, les points +, et +, reviennent à la fin à leur position initiale, et si C, en se déformant, reste suffisamment rapproché de x,, il laissera toujours æ, à son extérieur. On peut par exemple supposer, si l’on veut, que C est un cercle de rayon assez peut, ayant +, pour centre.

Cherchons la valeur de l'intégrale prise le long de la surface

fermée correspondant à T et à l’ensemble des courbes C. Laissant d'abord y constant, nous avons à prendre, dans le plan des x, l'intégrale P(x,y) ——— —"""— dr.

Je Q2 TI) R(&,7) Il faut donc calculer le résidu par rapport à +, de la foncuon rationnelle P(x,y) F Q(z,7)R(x,7)

Nous avons, pour valeur de cette première intégrale,

ri P(æ%1, y) Q2(21,7) R(z1.7)

et il faut prendre maintenant dans le plan des y

5 IAE y)