DES

I. — Des intégrales simples et des intégrales multiples d'ordre 7 — 1 dans l’espace à x dimensions.

1. On sait ce que l’on doit entendre par intégrale multiple d'ordre 7 dans l’espace à 7 dimensions. Nous nous proposons de définir les intégrales multiples, dont l’ordre m est inférieur à celui n» des dimensions, et de chercher les conditions d’intégrabilité de ces intégrales.

Nous nous occuperons tout d'abord des deux cas extrêmes, relatifs à m—1 et m—n—1, ce qui nous permettra d'aborder plus facilement l’étude des cas intermédiaires.

2. Quoique le cas de »m — 1 soit bien élémentaire, reprenonsle pour être complet; soient %1, Go, +, Zn, N variables réelles que l’on considère comme les coordonnées d’un point dans l’es-

PAETLS: 1

pace E, à » dimensions. Considérons l'intégrale

LB (1) { Pidri Podr ee Pr dtr, A dans laquelle P,, P;, ..…., P, sont des fonctions bien déterminées et continues de x, Æo, …, æn et où À et B désignent deux points, dans l’espace E,, dont les coordonnées sont respectivement 4, 1 À Los .…., C47 ai T2 Bo, …. Bn Cette intégrale n'aura de sens que lorsque nous aurons fixé le

chemin d'intégration, c'est-à-dire une courbe C, ou variété à une dimension, joignant le point À au point B. Soient

æi = p(À), La = Pa(À), 21 Ta = Pn(À),

les coordonnées d’un point quelconque de la courbe C'exprimées en fonetion d’un paramètre À : les fonctions © sont des fonctions continues de À, et quand À variera d’une manière continue de À ‘à À,le point (x, Z», .…., æ,) décrira la courbe GC. L'intégrale (1), prise le long de C, est alors, par définition, l'intégrale simple

ordinaire

de (P. GE L. tr ele Êee d}. dx

C’est la généralisation de l'intégrale curviligne, dans les es-

paces à deux et trois dimensions. On peut, comme dans ces cas, envisager un contour d'intégration fermé, dans lequel le point d’arrivée coïncide avec le point de départ, et 1l y a lieu de remarquer que cette intégration peut être effectuée dans deux sens opposés.

3. Nous devons nous poser pour l'intégrale (1) une question analogue à celle qui a été étudiée pour les intégrales curvilignes ordinaires : A quelles conditions l’intégrale (1) ne dépendrat-elle que de ses limites?

Envisageons dans l’espace E, un domaine continu D, simplement connexe, à l’intérieur duquel les fonctions P,, P,, ra sont uniformes, continues, ainsi que leurs dérivées partielles. Les courbes, joignant les deux points À et B, que nous aurons à considérer, appartiennent tout entières à ce domaine el peuvent

être ramenées l’une à l’autre par une déformation continue sans en sortir.

Nous cherchons donc les conditions nécessaires et suffisantes auxquelles doivent satisfaire les fonctions P, dans le domaine D, pour que la valeur de l'intégrale (1) soit indépendante de la trajectoire suivie par le point (æ,, to, …, æ}) entre les points À et B et dépende uniquement des coordonnées du point À et de celles du point B.

Les conditions nécessaires s’obtiennent immédiatement, en supposant d'abord qu'on ne fasse varier que deux des coordonnées, æmet tx, par exemple. L'intégrale (1) se réduit alors à l'intégrale curviligne ordinaire

fr, drn—+ Prdrg.

Les condiuons d'intégrabihité sont

oPn 9P

fa) OT je 5: Th

En considérant toutes les dr de différentes de n lettres

Re)

deux à deux, on obtient ainsi ie conditions d'intégrabilité

nécessaires.

Ces conditions sont aussi suffisantes. Pour le montrer, introduisons un paramètre variable +, et envisageons la courbe variable définie par les équations

Ti ®(À,€), La We(À,€), De GO, E)-

Les fonctions sont ou indépendantes de e, quand on y it À = À et À = ); : À, elles se réduisent respectivement à %, 4, .…, 2 Coordonnées du point À, et pour À = À à 9,, Be, .…, Pr coordonnées du point B.

Faisons varier à la fois ete, l'intégrale (1) prendra la forme

br ADI = ne (+4) INR “a ) « dx +(Yr: D ) de

l CHAPITRE I.

C’est une intégrale curviligne ordinaire relative aux deux variables À et e, et un calcul très simple montre de suite que, si les relations (2) sont satisfaites, les coefficients de dà et de de saus-

font à la condition d'intégrabilité

D) OT; ee d Ti (4) D) = 3 PE)

On en conclut que l'intégrale (3), effectuée le long d’un contour fermé tracé dans le plan des (À, e), est nulle si, à l’intérieur de ce contour, la condition (4) est satisfaite, les fonctions P

étant toujours telles que nous l’avons supposé.

Fig. 1.

ko À À si 8

Prenons comme contour d'intégration le rectangle ABCD, défini par les segments OA=?X, OB=N AC = PDE= 0 aura, sans qu'il soit besoin d'écrire l’élément différentiel sous le

signe somme, la relation

Or l'intégrale effectuée le long de BD se réduit à

D 0T; ii Po de, £ > JE

puisque, le long de cette ligne, la valeur de }À est constante. D'ailleurs, pour À — À, les fonctions & sont, par hypothèse, indé-

pendantes de e; donc cette intégrale est identiquement nulle. Il > s tee : \ en est de même de l'intégrale prise le long de CA. Nous concluons

de là que

F-f Dr

c’est-à-dire que l'intégrale (1) ne change pas de valeur quand on déforme le contour d'intégration, sous les conditions spécifiées.

Par conséquent, les relations (2) sont bien les conditions nécessaires et suffisantes d'intégration.

Le résultat précédent donne lieu aux conclusions suivantes :

Si la courbe C, fermée et continue, peut en se déformant se réduire à un point sans sortir d’un domaine D linéairement connexe à l’intérieur duquel les fonctions P,, P,, ..., P, sont uniformes, continues, ainsi que leurs dérivées partielles, l'intégrale prise le long de ce contour sera certainement nulle.

Nous verrons, dans le Chapitre suivant, ce qu’on doit entendre par un domaine à connexion multiple dans l’espace E,, mais, sans aborder cette question, on conçoit, par analogie à ce qui a lieu dans l’espace ordinaire, qu’un domaine D, continu, satisfaisant aux conditions précédentes, soit tel que toute courbe fermée lui appartenant ne puisse se réduire à un point. L’intégrale prise le long d’un contour fermé appartenant à ce domaine devra alors nécessairement se réduire à des multiples d’un certain nombre d’entre elles qui seront les périodes de l'intégrale considérée.

5. Passons maintenant aux intégrales multiples d'ordre 7 — 1 dans l’espace à x dimensions. Quelques remarques préliminaires sont nécessaires, relatives aux vartétés ou surfaces à nr — 1 dimensions dans l’espace à n dimensions.

Considérons l’équation

(5) F(æ1, La, +.) Tn) = 0;

où F désigne une fonction uniforme, continue, dont toutes les dérivées partielles sont aussi continues et ne s’annulent jamais toutes à la fois sur F. L'ensemble des points de l’espace E,, qui satisfont à cette relation, forme une variété à n — 1 dimensions, V, ou hypersurface. Cette variété est continue si l’on peut toujours réunir, par une courbe continue entièrement tracée sur elle, deux

points arbitraires de cette variété. Elle est Jinte, s1 tous ses

points satisfont à la condition

(6) ai+ri+...+xi< R?,

R étant une constante fixe, suffisamment grande. : Nous dirons que la variété V, définie par la seule équation (5), est fermée si elle est finie et continue.

Dans ce qui suit, nous supposerons en outre que cette variété est convexe, c’est-à-dire qu’une parallèle à l'un quelconque des axes de coordonnées qui rencontre cette variété la rencontre en deux points et en deux points seulement. Enfin, comme dernière hypothèse, nous admettrons qu'il n'existe, sur la variété V,

aucune relation identique entre deux quelconques ou plusieurs ip 0F 0F oF

des dérivées partielles =: =—> -..; —.

0T1 Oo Char

Comme exemple d’une variété satisfaisant à toutes ces condi-

tions, on peut citer l'hypersphère Am rc one 00

Cela posé, on voit que la variété V divisera l’espace E, en deux régions, l’une déterminée par l'inégalité F <o, et l’autre par l'inégalité F > 0, sans qu'il soit possible de passer d’un point de l’une à un point de l’autre sans traverser la surface. Nous désignerons sous le nom de région intérieure celle de ces régions dont tous les points satisfont en outre à l'inégalité (6) et l’on peut toujours disposer de F dé manière que ce soit celle qui correspondent à l'inégalité F Lo. L'inégalité F > o définit alôrs La région des points extérieurs.

6. Maintenant, par analogie avec les surfaces dans l’espace ordinaire, nous considérerons les dérivées partielles

oF oF oF

2 DC 0æ: OT) On

comme les paramètres , d’une normale à la variété V, et nous allons démontrer qu’on peut toujours trouver sur cette variété une région pour laquelle toutes ces dérivées parüelles aient le même signe. Envisageons la droite parallèle à l'axe des æi, dont

les équations sont (7) SENTE T3 — A3, Tn—= An;

et dont on obtient tous les points en faisant varier æ, de — « à + œ. Soit alors B le premier point de rencontre de cette droite avec la surface et A le second. La fonction F, qui s’annule en A et B, est positive lorsque + varie de — + au point À, négative entre le point A et le point B, positive du point B à + &. On en

; : À on ue conclut qu’au point B, ou point d’entrée, EL négalif, et qu'au : : : oF Fe point À, ou point de sortie, Se. St positif.

Si donc on considère l’ensemble de toutes les droites (3) qui rencontrent la surface, elles diviseront cette surface en deux

a oF :

régions : l’une pour laquelle on aura a l’autre pour la- LÆ

quelle ie Fo:

07; Envisageons de même l’ensemble des droites parallèles à l’axe des æ, qui coupent la surface, elles la partageront en deux nou-

Ends 70 s de Re:

velles régions correspondantes à n > oretà <T o. Ces régions

ne se confondent pas avec les précédentes puisqu'il n'existe pas, 2 = ; : ; DITS 0F

par hypothèse, sur V, de relation identique entre les dérivées ne

T1 0oF

De On peut donc séparer sur la variété V une région pour la- :

pe! CON 0F de quelle on ait à la fois ot = 0. Nous considérerons en- T1

suite l’ensemble des droites parallèles à l’axe des æ,, et en continuant ainsi de proche, nous arriverons à séparer sur la variété V une région Î pour laquelle toutes les dérivées partielles sont posi- Lives.

7. Au lieu de l'équation (5), qui définit la variété V, on peut considérer l’ensemble des équations équivalentes

a [ee]

an ee po ete 96e els s ss sec ef 6

ù CHAPITRE I.

OÙLLI Ua, Un ON considérer comme x — 1 variables in-

dépendantes.

On en déduit les relations

0F 0F 0% | 072 Do, æ3,..., Zn) D(ts, Tr, ...; Mn Ti) Du de un) NON DT 2 rt) 0F 0F 023 LAVE: Tr à CRD rs die) Hu Le Dr ND Qu dore) é Du, Us,..., Un1)

dans lesquelles, pour l’ordre des indices adopté, on devra affecter du signe + tous les déterminants fonctionnels si » est impair, et prendre alternativement le signe — et le signe +, si x est pair.

Choisissons l’ordre des &w de manière que, sur la région I de V, considérée plus haut, pour laquelle toutes les dérivées sont posilives, celte suite de rapports soit positive. Si l’on effectue alors une permutation sur les w, le signe changera ou ne changera pas suivant la nature de cette permutation. Par analogie avec ce qui a lieu pour les surfaces dans l’espace à trois dimensions, nous distinguerons, sur la variété V, deux côtés déterminés par l’ordre dans lequel les lettres &w,, w», ..., Un, Sont écrites, un côté extérieur correspondant à un ordre tel que, dans la région I, tous les déterminants fonctionnels précédents affectés de leur signe soient positifs, et un côté intérieur correspondant à un ordre tel que ces déterminants soient négatifs.

On exprime encore ce fait en disant que si, dans les équaons (8), deux variables w sont permutées, elles représentent V ou une variété opposée à V.

8. Ces préliminaires étant posés, pour arriver à la notion d’une intégrale multiple d'ordre »—1 dans l’espace à » dimensions, nous parlrons, si » est impair, de l'intégrale

000) 8 ( JL Le F sen 9) jh (2 [CE 0% DE RE Je ) ds dt» .. Ch

où toutes les dérivées partielles sont affectées du signe +, en

étendant cette intégrale au domaine des points intérieurs défini par F 0 dans l’espace E,; et dans ce domaine on suppose, bien entendu, que les fonctions P, Q, ..., S et leurs dérivées partielles sont uniformes et continues.

Si » est pair, nous ee l'intégrale analogue

2e os (9) re [CS . TELUS LE dei des se GE,

mais dans laquelle les dérivées partielles sont affectées alternative-

ment du signe + et du signe —.

Considérons le premier terme de l’une ou de l’autre de ces intégrales

(10) ee fi dr GAS où 0 Cle e are

On peut effectuer l'intégration par rapport à #,, et, en désignant respectivement par B et À les points d’entrée et de sortie d’une parallèle à l’axe des x,, l'intégrale précédente se réduira à l’intégrale d’ordre 7 —1

1h ae [ar dr, …. den(Pa — Pp).

Tous les points À appartiennent à la région des points de la va-

.- 0F : . TS riété V pour laquelle . > 0; tous les points B à la région pour

oF laquelle — 0.

Introduisantles variables indépendantes w,,u»,...,uy,,choisies ‘dans un ordre qui corresponde au côté extérieur de V, on aura pour les points À

D(x>. eee Br) Ta DE = = = d GUre da» dr dur D EAU rt et pour les points B Dre 2) dLr AL3 ee Aln — — D( ee me Pa j GRIS ee Gp de sorte que l'intégrale (10) sera égale à l'intégrale d'ordre (n — 1)

Dr Tee En) [P (as = dus dus Are RE : IDC RTE)

étendue au côté extérieur de la variété V définie par l’équa- On 0: :

Le même mode de raisonnement montre, en s’appuyant pour les signes sur le lemme du paragraphe précédent, que l'intégrale

Q AL ee fe de ds … des (n) € 02

est 4 à a d'ordre 7 —1

D(zx: Th. Pns T1 far CE = 07. TD Se Cl (ui. Ua, ...,

Un—1)

Ji 1H

étendue comme la première au côté extérieur de la variété V; et de même pour tous les autres termes de l'intégrale (9). Finalement nous pourrons écrire l'égalité

OP MOQUE HE. (= M en 0

(tr) (0) Ê Dire Un—1) , DAS) :

DGA ee | FACE

l'intégrale d'ordre n étant étendue au domaine défini par F0, et l’intégrale d'ordre n — 1 au côté extérieur de la variété V(E=0):

On représente symboliquement l'intégrale d'ordre (n — 1), écrite dans le second membre de cette égalité, par l'expression

sil + Î P dès de, … de, (12) Ut;

Ci Q dx; dr, DCE d£h Ai o TE S Cha dT2 AE Genres

dans laquelle l’ordre des indices des variables Lis DOTE DE doit pas être interverti; c’est à-dire que, par définition, cette intégrale est égale à l'intégrale

ITR ff LIRE dirt ce D'un N

2 D cs 5 Dry ADI DDC NES Ps D(x:: nn A) du Au D (uw, on) FRERES

étendue, suivant l’ordre des &, à un côté ou à l’autre d’une variété V définie par l'équation (5) F — o, ou par le groupe des équations équivalentes (8).

9. La formule (11) donne immédiatement la condition pour que l'intégrale (12) prise le long de toute variété fermée V à » — 1 dimensions, à l’intérieur de laquelle les foncuons P, Q, ..., S et leurs dérivées partielles du premier ordre sont uniformes et continues, soit égale à zéro.

Il est nécessaire et suffisant que l’on ait

F0 Le Or NOT RUES 0,

relation dans laquelle, comme nous l’avons dit, on prend toutes les dérivées partielles avec le signe + si n est impair, et avec alternativement les signes + et — si » est pair.

10. Au lieu d’une variété fermée à n — 1 dimensions, on peut considérer une variété & frontière, qui sera définie, par exemple, par l'équation F{x,, æ,-., æh)—0o et par une inégalité D(Xs, Lo, ..., Xn)<< 0, si l’on suppose que l'équation ® — 0 sépare sur l'hypersurface F deux régions distinctes : l’une pour laquelle & => o, l’autre pour laquelle ® < 0.

Les équations F —0, ®— 0 prises ensemble constituent une variété à » — 2 dimensions que l’on appelle la frontière complète de la variété définie par les conditions

PE do er) 0, DT ee Cr) Een O:

Si, au lieu de définir la variété fermée par l'équation F — 0, on la suppose définie par les équations (8)

DRM RTE En Tr— Je(U1; Us, Un), Ro TL :

Dh Ja (ane, eco nt);

on obtiendra une variété limitée en adjoignant à ces équations une inégalité Q(Ui, Was s ++; Un=1)LO,

Si alors on considère un ensemble de variétés à n — 1 dimensions, ayant une même frontière définie par l'équation

(ui, Ut Une) 0;

on verra facilement, sans qu’il soit besoin d’insister, que la relation (13) exprime la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale (12) ne dépende que de la frontière limitant la variété sur laquelle on intègre.

La démonstration suppose, bien entendu, que dans tout le domaine à 2 dimensions, balayé par cet ensemble de variétés ayant même frontière, les fonctions P, Q, ..., S et leurs dérivées partielles du premier ordre sont uniformes et continues.

On en conclut encore, comme pour les intégrales linéaires, que si le domaine D, tout en étant continu et connexe, est tel que toutes les variétés fermées à 7 — 1 dimensions que l'on y peut tracer ne peuvent pas se réduire par une déformation continue à une variété d’un nombre moindre de dimensions, l'intégrale prise le long d’une variété fermée à 7 — 1 dimensions se réduira nécessairement à une somme de multiples d’un certain nombre d’entre elles, qui seront les périodes de cette intégrale.