II. — Des intégrales d’ordre quelconque
11. Nous avons défini les intégrales d'ordre 1 et d'ordre 7 —1 dans l’espace E,; passons maintenant aux cas intermédiaires ah) Nous nous bornerons à l’étude des intégrales multiples d'ordre 2
et 3. L'extension au cas d’un ordre de multiplicité quelconque se fera d'elle-même.
Nous nous proposons donc de définir les expressions symboliques de la forme
(té) 1= [fau dr: des,
(1) L'étude de ces cas a été faite pour la première fois par M. Poincaré (Acta mathematica, t. IX).
considérées comme des intégrales doubles étendues à une variété à deux dimensions, fermée ou limitée. Dans une pareille expression, d’après la définition qui va suivre, l’ordre des différentielles dx;, dxx n’est pas indifférent; les A; sont des fonctions données de æ,, Zo, ..., æ, et nous convenons que ‘
Aix = — Ai, ce qui entraîne A;;— 0.
Supposons que la variété à deux dimensions le long de laquelle doit s’effectuer l'intégration soit déterminée par les nr équations
COR 0), To (U ) ds Da Jai),
où & et # sont à considérer comme des variables indépendantes. La variété ainsi définie pourra être finie et continue et par suite fermée. C’est ce qui aura lieu en particulier si les f sont des fonctions périodiques de w et 6.
Mais aux équations (15) nous pouvons joindre une inégalité
qui exprimera qu'on ne considère sur la variété (15) que les points qui correspondent à l’intérieur de la courbe o(u, v)— 0, soit À, tracée dans le plan des (uw, 6). On a alors dans l’espace E, une variété à deux dimensions ayant pour frontière la variété à une dimension correspondant à la courbe o(u, 6) — 0.
Nous pourrions aussi, pour définir une variété fermée, imaginer dans l’espace à 3 dimensions (X, Y, Z), une surface fermée, déterminée en exprimant X, Y et Zen fonction de deux paramètres w et #, el considérer Z1, Lo ..., Æn Comme des fonctions des coordonnées des points de cette surface. Si au lieu d’une surface fermée dans le même espace (X, Y, Z), on a une surfacel imitée par un contour, elle donnerait lieu à une variété limitée par une certaine frontière.
Cela posé, l'intégrale (14) sera, par définition, l'intégrale double
To DIS Do du dv,
étendue à toutes les valeurs de w et », si la variété est fermée; étendue à l’aire À définie par g(u,e)< 0, si la variété est limitée.
ordinaire
Sous cette forme on voit, à cause de Ja relation APR, que les deux termes qui correspondent aux deux couples #k et Xt
s'ajoutent. Remarquons aussi que, si l’on permute w etv, cette Imté-
grale change de signe : nous dirons alors, conformément à ce qui a été dit précédemment, que l’intégrale est prise d’un côté cu de
l'autre de la variété sur laquelle se fait l'intégration.
12. Cherchons à quelles conditions cette intégrale étendue‘ à une variété fermée, à l'intérieur de laquelle les A;; et leurs dérivées partielles du premier ordre sont continues, est égale à zéro ; où, ce qui revient au même, à quelles conditions cette intégrale ne dépend que de la frontière limitant la variété sur laquelle on intègre.
Nous obtiendrons immédiatement les conditions nécessaires en faisant varier seulement trois des lettres x, soient x;, æy, æy.
L'intégrale J se réduit à
> NET du; day An dx} dx} ni À hi dx} AT
Nous sommes dans le cas de l’espace à trois dimensions. Pour que les conditions que nous cherchons soient remplies, il faut
que l’on ait la relation
À ;% JA ÿn , OA pi
(y) 0Th 0X; | 0Ty
et cela quelles que soient les valeurs des æ. Si d’ailleurs on remarque que cette relation ne change pas quand on effectue une transposition quelconque entre les z, Æ, k, on obtiendra ainsi
autant de relations nécessaires qu'il y a de combinaisons possibles A(R == U(nr 2)
de n lettres trois à trois, soit
13. Ces conditions sont-elles suffisantes? Pour le montrer, voyons d’abord ce qui se passe quand on emploie le second mode de représentation, c'est-à-dire quand: on définit la surface d’intégration par une surface fermée S dans l’espace XYZ, ses coordonnées étant exprimées en fonction de deux paramètres w et ep.
En partant de la relation, facile à vérifier,
D(x:i,æx) D(f:, fx) D(X, Y)
D(u, +) D'ÉCOLE)
DC fr) DON,2) | DC: fe) D(Z.X) DO AD DUR DIZ, CD Ce
on voit que l'intégrale J pourra s'écrire sous la forme
oe TA De fr) Tr Jr
JITEA DE ele Id | ax D Dar | dz.
D( j;, he) r -
+ [Dauer Don |uzax.
C’est une intégrale de surface dans l’espace à trois dimensions.
La condition pour que cette intégrale étendue à une surface fermée soit nulle est
0 Dia fe) 00 D(f, fa
ADS DE l+x% | Yax D(Y, | no D(fi, fr + | Dix O7: Dar |-
En développant cette relation, on voit que les termes en A;
disparaissent d'eux-mêmes, en vertu de l’identité
@) DOTE We) Ve 9 D(Fi, fr) ; 0 DE) #2 DR DS HT DV, 2) OV DIX)
Il reste alors
D Ve Je) > CENTS ) Die Jr) OA ;k fn (2 1) 0Th x )
Dies Y) 0x}, | = eee, 0x» 0X
D(fe fr) [ NS Aix dfn\ D(Z, X) 0€} ) ,
ik
ou, en réunissant tous les termes dans une sommalion triple
0Th 0% OT} DOC A)
); JA yn OA pi) D is Jh J DEEE kh 0 ) (is Îhs Jn)
ikh
la sommation étant étendue à toutes les combinaisons de » lettres
trois à trois. Cette condition est satisfaite si les relations (17) sont satisfaites, et l’on en conclut que ces relations sont suffisantes pour que l? intégrale J étendue à une variété fermée définie par la surface S, et sous les conditions spécifiées, soit égale à zéro.
Cette ep laisse toutefois subsister un doute. Nous avons supposé que les æ étaient des fonctions de X, NZecs dernières étant exprimées en fonction de u et p. Il n'est pas certain que ce mode de représentation puisse s'appliquer à une variété quelconque à deux dimensions. Toute variété à deux dimensions peut, au contraire, se représenter par le système des équations (15). Nous allons donc reprendre la démonstration en nous servant d’ailleurs du résultat précédent.
Nous devons alors concevoir que les æ sont exprimés en fonction de deux paramètres w et # et d’une constante arbitraire €
UNE) ni com)
e variant entre certaines limites, et l’on suppose que les valeurs des æ ne dépendent pas de & quand le point (w, v) est sur le contour Af[o(u,v)—o] dont nous avons parlé plus haut. Il faut montrer que l'intégrale J ne dépend pas de e. Posons
mn = X, PIN Évé
D'après ce qui précède, si les conditions (13) sont satisfaites, l'intégrale le long de toute surface fermée dans l’espace (XYZ) sera nulle.
Prenons pour surface d'intégration la surface totale d’un Cylindre dont la base dans le plan des XY est la courbe A, et dont la hauteur est égale à e. Soit B la base supérieure, qui est une courbe égale à A. Or les & ne dépendent pas, par hypothèse, de e, quand le point (w, e)est sur le contour A : les déterminants fonc-
tionnels D(x:;, æy) D(x;, y) D(Y7 nTz a
seront donc nuls sur la surface latérale et, par suite, l’intégrale relative à cette surface sera égale à zéro. Par suite, la somme des intégrales étendues respectivement à l’aire A et à l’aire B est nulle, et si l’on intègre d’un même côté de ces surfaces par rapport au
plan XY, ces deux intégrales seront égales. Les conditions (15) trouvées comme nécessaires sont donc bien suffisantes.
Hire
Il est important de remarquer en terminant que les conclusions précédentes exigent que, lorsqu'on déforme la surface en laissant sa frontière invariable, elle doit, en se déformant, ne rencontrer aucun des systèmes de valeurs des + pour lesquelles les A;; deviendraient infinies ou mal déterminées.
Enfin, on conçoit, comme pour les intégrales d'ordre un et d'ordre n — 1, que, dans un domaine D où toutes les variétés fermées E, ne pourraient pas se réduire à un point ou à uneligne, l'intégrale prise le long d’une de ces variétés devra se réduire à une somme de multuples d’un certain nombre d’entre elles, qui seront les périodes de l'intégrale considérée.
14. Bornons-nous, pour terminer, à définir les intégrales muluples d'ordre 3 dans l’espace à x dimensions, L'expression symbolique
(18) 3= [ff Yu dr: der der
considérée comme une intégrale triple, étendue à une variété à 3 dimensions, se définit de la manière suivante : Les dx;, dxx, dx, sont trois quelconques des » différentielles dx,, ..., dx, dont l’ordre ne doit pas être interverti. Les fonctions A; sont des fonctions données de x, &», ..., æn. Deux fonctions A;y sont égales en valeur absolue si elles ne diffèrent que par l’ordre des P/ETS. 2
