TD

pP étant un entier positif ou négatif.

Il serait facile de démontrer directement ce résultat sans recourir à aucune théorie sur les intégrales de fonctions de deux variables complexes; c’est ce que fait Didon. Considérons d’abord l'intégrale

Désignons par x, et y, les valeurs initiales d'intégration sur C et C’; prenons une détermination initiale de

log f (To, Po);

et, dans la suite, log f(x, y) désignera la détermination obtenue du logarithme, quand x et y ont marché respectivement sur C et C depuis æ, et y, dans le sens positif. En intégrant par parties,

on à

of do /

“ CAE ù Q: (Zo, Y) [LE La frosfes nee NES 4 Joe À 9 ti

22 lo ; = Jp verte ne GC

log f(x, y) indique la valeur de log f(x, y) quand æ revient en &,; la différence des logarithmes qui figurent dans l'intégrale double du second membre est donc égale à 272m, m étant un entier. On a de la même manière

of de

dy or De ART Pr(a Vo) y Ji ; Sr J [log f(x, T0) og f(x, Jo) p(X, Yo) 25

2? log — f frosfte n 5 5? dr dy, GC!

et la valeur de log f(x, y,)— log(x, yo) est égale à 2747, n étant un entier. La valeur de l'intégrale (4) se met alors sous la forme

DT LC m fe ay n [20 dr :

c ?(To;, ) C (x, yo)

or on a évidemment

! *à \ 2 Lo, V . (o] FAR :

FRD ay = sein, ED de = orinr, ce P(Los Y) g ?(7; Jo)

m' et n! étant des entiers; nous arrivons donc à — 4r?(mn'— m'n),

qui est bien de la forme voulue. La signification des entiers m et » est d’ailleurs immédiate, mais le coefficient de — 4+? peut avoir une valeur absolue différente du nombre des racines des équations f— 0, 9 — 0, pour lesquelles l'x est compris dans C et ly dans C/.

C'est par une tout autre voie qu’on pourrait obtenir le nombre des racines des deux équations

pour lesquelles l’x est contenu dans le contour C, et l'y contenu dans le contour C’. On sait, en effet, qu'on peut représenter (!) par une intégrale £riple le nombre des racines des deux équations précédentes contenu à l’intérieur d’un continuum fermé E à trois dimensions situé dans l’espace à quatre dimensions (x, y); cette intégrale triple est étendue à ce continuum 5. Il suffira ici de prendre pour continuum Ÿ la somme du continuum obtenu en donnant à æ une position quelconque à l’intérieur de C tandis que )° reste sur C/, et du continuum analogue qui correspond à x restant sur C tandis que y occupe une position quelconque à l'intérieur de C/. La solution du problème proposé est donc fournie par une intégrale triple, et non par une intégrale double.

10. Faisons, en terminant, une remarque importante (2), qui accuse une différence profonde entre la théorie des intégrales doubles de deux variables complexes et celle des intégrales simples d’une variable complexe. Dans cette dernière théorie on ne peut faire passer le chemin d'intégration par un point où la fonction devient infinie : bornons-nous aux intégrales de fractions

rationnelles ; l'intégrale RPC)

ls QG)

n’a aucun sens, si le chemin d'intégration passe par une racine du polynome Q(z). Il peut en être autrement dans le cas des intégrales doubles ; soit l’intégrale

feet

Elle pourra avoir un sens bien déterminé si la surface d’intégration S rencontre le continuum défini par l'équation

Il en sera ainsi si les points de rencontre des continuum S et

(:) On peut consulter le Chapitre VII du Tome IT du Traité d'Analyse de M. Picard, où sont exposés les travaux de Kronecker et de M. Picard sur ces

questions. | 7 (2) Gette remarque a été faite par M. Poincaré dans le Mémoire déjà cité

(Acta mathematica, t. IX, p. 368).

PASTRS: 5

Q ne forment pas une ligne, c’est-à-dire sont des points isolés, à ; P : : :

et si en ces points le quotient + devient infini seulement du pre-

mier ordre. On sait, en effet, qu’une intégrale double ordinaire a un sens, quand l'élément devient infini en un point À, pourvu

s : Ch" $ : I que la fonction sous le signe d’intégration soit de l’ordre É en

désignant par p la distance du point variable au point A. Prenons, comme exemple, l'intégrale

TJ) area

le rapport : n'étant pas réel. Supposons que la surface S d’inté-

gration corresponde à un ensemble de valeurs réelles de x et y, intégrale aura un sens,

parmi lesquelles se trouvent x — quoique la fonction sous le signe d'intégration devienne infime

pour æ = 0, y = 0 [nous supposons P(0,0):£0]. Nous pouvons, en effet, sur S, poser

.æ=pcosb, MAO ISINU,

p et Ü étant réels : nous avons alors l'intégrale

P(pcos0, psint) Ji a cos0 + b sin0 den

Avec l’hypothèse faite sur le quotient + le dénominateur ne

peut s’annuler pour une valeur réelle de 0, et l'intégrale a, par

suite, une valeur parfaitement déterminée. Le continuum d’intégration et le continuum

ax +by=o ontici, comme seul point de rencontre, l’origine. Les circonstances ; DGA ne À é ; seralent autres sir était réel; il y aurait alors une courbe de

rencontre entre les deux continuum et l'intégrale n'aurait aucun: sens.

2 DE . , Revenons au cas général de l'intégrale

et supposons que la surface d'intégration S rencontre en un point le continuum Q. On déforme la surface S en lui laissant le même contour. Le point de rencontre (x, y) avec Q va se déplacer; il va passer de la position A, de coordonnées (x,, y) à la position A, de coordonnées (æ, 72). La valeur de lintégrale ne restera pas constante, comme dans le cas où S ne rencontrait pas Q; il est facile de trouver la différence des valeurs finale et initiale de l'intégrale. Cette différence sera égale à la valeur de l'intégrale prise le long de la surface engendrée par une courbe infiniment pette entourant le point x, racine de l'équation

quand (x, y) se déplace de (æ,,y:) à (æ:, 2); elle sera donc

égale à l’intégrale simple

(Te, Ys) P(x Y) RARE ANRT #4 Q(r, y) *

comme on le voit de suite, en faisant des calculs analogues à ceux du n° 7.

III. — Des intégrales de différentielles totales de fonctions rationnelles.

11. Nous avons considéré dans la Section précédente des intégrales doubles dans l’espace à quatre dimensions (x,, æ2:, V1, Y'a) qui est le champ de variation des deux variables complexes x et y. D’autres intégrales se présentaient tout d’abord plus immédiatement; ce sont les intégrales de différentielles totales de la forme

faar+8 4.

A et B étant des fonctions rationnelles de x et y, et en supposant vérifiée la condition d’intégrabilité

Dans ces conditions l’intégrale

T,Y Î À dx +B dy

Los Yo

ne varie pas quand on intègre sur une ligne allant du point (&o, Jo) au point (x, y), pourvu que la ligne, en se déformant, garde les mêmes extrémités et ne rencontre aucun point pour lequel A et B cessent d’être continues.

Si l’on intègre le long d’une ligne fermée, on aura une valeur qui ne changera pas quand on déformera la ligne sans traverser aucune singularité des fonctions À et B. Réduisons À et B au

même dénominateur, et soit

622) Q(zx, y) A NE B = ————— ° R(æ, y) R(æ, y) On peut supposer que chacun des facteurs irréductibles du polynome R(+, y) dépende à la fois de x et y; il sera toujours possible d'arriver à ce résultat en effectuant sur x et y une substitution linéaire. Nous allons montrer qu’une ligne fermée arbitraire, ne rencontrant pas le continuum

peut être déformée, sans rencontrer ce continuum, de manière que l’on ait pour tous les points de cette courbe