TALONS

Par chaque point de la ligne L nous pouvons, dans l’espace à quatre dimensions, mener une droite ne rencontrant pas le conunuum R. Si nous partons d’un point déterminé de L correspondantà y: = y; et que nous décrivions ce contour, on peut à chaque point associer une telle droite, celle-ci se déplaçant d'une manière continue; quand on revient au point de départ À, il peut arriver que la droite obtenue en arrivant ne coïncide pas avec celle que l’on avait au départ. Considérons un plan

le lieu des points de rencontre avec ce plan des droites précédentes à 4 [ . À “ ‘À T4 TA forme une courbe L/, non fermée en général, et ses deux extré-

mités & et a! correspondent au point À de L. Une déformation continue, sans traverser le continuum R, permel de passer de L à la ligne fermée À formée du segment de droite À a (sur lequel y a la valeur initiale y}), de la courbe L' et de la droite a'A (y ayant la valeur y,). D'autre part, considérons la ligne correspondant à Y2=y2 et à une courbe arbitraire y allant de a! à a dans le plan Yi= y"; les trois lignes y, a A, A a! forment une courbe fermée située dans le plan y: — 7°. L'ensemble des deux courbes } et N, en tenant compte des parties communes qui se détruisent, se réduit à une certaine courbe fermée située dans le plan

Ji= y?

Il en résulte que la courbe L est remplacée par deux contours : l'un situé dans le plan y; —7", l’autre dans le plan y: = y!{. Chacun de ces contours peut maintenant être ramené facilement à un contour pour lequel on ait

HA TOnste

Prenons, par exemple, le contour pour lequel y, = y. Pour

cette valeur y, les deux équations

R1 (T1; Lo, 1, Y2)= 0

(R—=R1R), R2(T1, Ta, Yi Jr) = 0

déterminent dans l’espace (x,, æ2, y.) des courbes $. Chaque plan y, = const. rencontre les courbes b en un certain nombre de points toujours en même nombre, à savoir le nombre des racines de l'équation R(x, y)= o pour une valeur arbitraire donnée à y. Sauf pour certaines valeurs de y, en nombre fini, l’ensemble des courbes » ne présente pas de points multiples; les valeurs de y», pour lesquelles cet ensemble a un point multiple, correspondent aux coefficients de z dans les valeurs de y pour lesquelles l’équation R = 0 a une racine multiple. On peut supposer que y; n’est pas une de ces valeurs singulières et déformer la ligne étudiée de

facon à la faire venir dans un plan Pia

nous avons alors, comme nous le voulions, réduit notre contour

à être dans un plan y = const.

70 CHAPITRE IN. — DES INTÉGRALES DE FONCTIONS RATIONNELLES. Il résulte de là que les résidus de l'intégrale

P dr +Q dy R

sont ceux de l'intégrale relative à la seule variable x

IE y) dx , R(x, y)

Les résidus de la fonction rationnelle de x

EE) R(x,7)

seront par conséquent indépendants de y. Il faut donc nécessairement que la valeur de

21%) ; , . Re (æ1, y) æ, étant une racine de

soit une fonction de y se réduisant à une constante; ceci doit être une conséquence de la condition d’intégrabilité.

SINGULARITÉS D'UNE SURFACE ALGÉBRIQUE. DES INVA- KIANTS D’UNE SURFACE AU POINT DE VUE DE LA GÉO- METRIE DE SITUATION.

1. La première question qui se présente dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables est l'étude de ses singularités. On sait que les points singuliers d’une surface algébrique peuvent être extrêmement variés ; une surface peut avoir des points singuliers isolés, ou des points singuliers formant une courbe continue qui est une ligne multiple.

Avant d'entrer dans une étude approfondie, on peut remarquer que la représentation paramétrique des coordonnées d’une surface à l’aide de fonctions algébriques de deux paramètres conduit en général à certaines singularités qu’il sera naturel, à ce point de vue, de regarder comme ordinaires. Prenons d’abord le cas d’une courbe algébrique, et supposons que l’on ait

f et © étant des fonctions algébriques d’un paramètre w. Considérons les deux équations

On a là deux équations à deux inconnues w et uw'. En dehors de la solution w — w/, on pourra avoir un nombre limité de solutions (u, uw’); à ces valeurs, en prenant les déterminations convenables des fonctions f et , correspondra le même point de la courbe, et en général deux branches de courbes passant par ce point. Celui-

ci sera donc un point double, et, par suite, au point de vue paramétrique où nous venons de nous placer, un point double peut être envisagé comme une singularité ordinaire.

Passons maintenant: au cas d’une surface, et partons encore

d’une représentalion paramétrique

où f, ©, Ÿ sont des fonctions algébriques de w ete. Considérons

les équations Ju, v)= f(u, 67,

y(u,v)= Yu, #1).

Nous avons là trois équations à quatre inconnues w, 6, u!, 0". En laissant de côté les solutions u = w!, = v', nous pourrons avoir des solutions dépendant d’une arbitraire, et à ces solutions correspondra en général sur la surface une ligne continue par laquelle passeront deux nappes de la surface; cette ligne sera une courbe double.

Nous pouvons ici aller plus loin, en formant le système

Jftu,v)= f(u',o)= fu, o”), (1) | p(u,v)=qp(u,v')=gp(u",e"),

L(u,8)= Cu’, »')= YCur, v")

de six équations à six inconnues &, w, u!, 6', uw", 0". En dehors des solutions correspondant à

Bis, =", D = p'— "4

il pourra y avoir un nombre limité de solutions, et celles-ci correspondront en général à des points triples de la surface. Par un tel point triple O passeront trois lignes doubles de la surface et trois nappes de la surface se coupant deux à deux suivant ces lignes doubles.

Les trois lignes doubles passant par le point O correspondront respecuvement aux équations que l’on obtient en prenant deux des trois colonnes verticales dans les équations (1) et en égalant

entre eux les termes d’une même ligne. Le point O sera en général un point triple pour la ligne double, et les tangentes aux trois branches de cette ligne seront en général distinctes. Le cône des tangentes à la surface au point O est formé de trois plans, correspondant respectivement aux trois nappes de la surface passant en ce point; on peut appeler un tel point triple un point triplanaire.

2. Un cas particulier très simple et très intéressant d’une représentation paramétrique conduisant, comme ci-dessus, à un point triple est fourni par la surface de Steiner; il nous suffira de rappeler cet exemple. Soient

fie, B), fax, 8), sa, 8), Jia, 8)

quatre polynomes quelconque du second degré en x et 8. Si l’on pose 2 3 nl

on a la surface du quatrième degré qui porte le nom de Steiner. Cette surface a été étudiée par Clebsch (Journal de Crelle, t.67) en se plaçant au point de vue du paragraphe précédent. On voit ainsi facilement, avec la représentation paramétrique, que la surface a trois droites doubles formant un trièdre, et le sommet de ce trièdre est un point triple. Dans le plan (x, 8), les trois droites doubles correspondent aux trois côtés d’un triangle, et le point triple correspond aux trois sommets de ce triangle.

3. Revenons au cas général. On sait que pour les courbes algébriques la réduction des singularités a été faite par M. Nœther à l'aide de transformations quadratiques. L’illustre géomètre d’'Erlangen s’est aussi occupé, à diverses reprises, de la réduction des singularités des surfaces (!), sans traiter toutefois, ce semble, la question dans son entière généralité. Après M. Nœther, on doit

(1) Nous citerons, particulièrement, un Mémoire de M. Nœther dans les Comptes rendus de la Société royale de Güttingen, 1851, etune Note du même auteur dans les Sitzungsberichte de l’Académie de Berlin (1888). Dans ce dernier article est énoncé un théorème très important sur lequel nous reviendrons bientôt.

citer, parmi les géomètres qui se sont occupés de la réduction des singularités, M. del Pezzo (!), puis à un point de vue plus spécial M. Kobb (?}, et plus récemment M. Segre (*) dans un Mémoire très intéressant au point de vue géométrique.

Dans bien des cas, certaines transformations quadratiques peuvent être employées avec profit pour réduire une singularité : c'est ce qu'avait fait M. Nœther, et ce qu’ont fait aussi MM. Kobb et Segre. Supposons, par exemple, que nous ayons un point multiple d’ordre 7» à l’origine; nous aurons l’équation de la surface

(62) O = Pn(T, JV, 2)+ OmH(T, VS) +...

et nous pouvons supposer que les axes ont une position arbitraire par rapport à la surface. Posons

BXL, YEN, ROUTE nous aurons la surface transformée (EF) Em(X, Y,i)+Zpm#1(X, Y, 1)+...= 0.

Considérons d’abord l’ensemble des points de f'autour de l’origine, pour lesquels X et Ÿ restent finies. À cet ensemble correspond l’ensemble des points à distance finie de F défini par les deux équations

Ho; Pm(X, Y, t)—=0,

c’est-à-dire une certaine courbe de F. Il arrivera en général que cette courbe sera une courbe simple de F, et qu'aucun de ses points multiples, si elle en a, ne sera point multiple de F. Alors le point multiple considéré a été remplacé par des points simples dans la surface transformée, et une réduction se trouve faite qui peut être intéressante dans de nombreuses circonstances. Ainsi, dans le voisinage de chacun des points de la courbe précédente, on peut exprimer une des coordonnées à l’aide des deux autres par un développement holomorphe ou, d'une manière

(*) DEL PEzz0, Intorno ai punti singolari delle superficie algebriche ( Sociélé Math. de Palerme, 1892).

(*) G. KozB, Sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables (Journal de Mathématiques, 1892).

Gb) C. SEGRE, Sulla composisione dei punti singolari delle superficie algebriche (Annali di Matematica, 1896).

plus générale, les trois coordonnées, par des développements holomorphes dépendant de deux paramètres; il est clair qu’à l’aide d’un nombre limité de tels développements on peut embrasser tous les points de la surface correspondant à des valeurs de Z dont le module est moindre qu'un nombre e pris suffisamment petit et à des valeurs de X et de Y pour lesquelles les modules de X et Y sont finis, nous voulons dire moindres qu’un nombre déterminé M. Pour les points de la surface primitive f, correspondant à des valeurs de | X | et | Y | supérieures à M, on fera d’autres transformaüons quadratiques que celles que nous avons effectuées, soit

AN IS 2x ou bien encore hot ai ae

On arrivera ainsi à avoir un nombre limité de développements holomorphes de +, y, z par rapport à deux paramètres u et v dans le voisinage de u—0, r—0, qui donneront l’ensemble des points de la surface f autour de l’origine.

Nous démontrons ainsi, dans un cas particulier, un théorème absolument général, comme nous allons le voir tout à l'heure. Cette représentation du voisinage de l’origine sur la surface f, à l’aide d’un nombre limité de représentations paramétriques holo-

morphes, est d’un très grand intérêt.

4. Nous nous sommes placés au paragraphe précédent dans les circonstances les plus favorables. D’autres cas plus complexes peuvent se présenter; bornons-nous, en restant dans le même ordre d'idées, au point double. Le cas général d’un point double est celui où le cône des tangentes est indécomposable; comme cas particuliers, on a celui du point biplanatre où le cône se réduit à deux plans, et celui du point uniplanaire où le cône se réduit à un plan double.

Le cas du point biplanaire général ne donne pas naissance à la moindre difficulté; on aura l'équation de la surface

En faisant encore

DL, DZ GT

on a la surface transformée (F) 0 = Ga(X, Y, 1) + Zops(X) Yon).

La conique p2(X, Y,1)=0 se compose ici de deux droites. Nous avons donc alors, comme correspondant à l'origine sur f, deux droites sur F; ces droites sont simples et leur point de rencontre sera en général un point simple de la surface F. Il en serait autrement si les coordonnées du point double de la conique +, annulaient w;(X, Ÿ, 1); en désignant par & et 8 ces coordonnées, le point (x, $, 0) serait un point double de F.

Si l'on veut continuer la réduction, il faudra réduire ce point double de F qui, en général, sera un point à cône indécomposable, et finalement on aura remplacé le point double primitif de f par certaines lignes simples d’une surface transformée ne passant pas par des points multiples de cette surface.

Arrétons-nous encore sur le point wniplanaire. Dans cette hypothèse +. sera un carré parfait et l’on aura

pa(X, Y, 1)=(aX = 6Y-E70E La ligne droite A ayant pour équations aX+BY+y—o, TT

sera en général une ligne simple de F, mais il y aura sur elle deux points doubles de F, à savoir les points correspondant à Z—0

et à aX+B8Y +y—o, p3(X, Ÿ,1)= 0.

Ces trois points doubles de F, situés sur À, seront d’ailleurs, en restant loujours dans la généralité de la singularité envisagée, des points doubles à cône indécomposable, et la réduction pourra encore s'achever sans difficultés.

Les circonstances seraient différentes si ©3 était divisible par aX+$Y +7); on pourrait, dans ce cas, mettre l'équation de la surface f sous la forme

(Cf) 22+ rh(T, Y,2)+ (x, Y,3)+...= 0.

On aura alors ce que les géomètres anglais appellent un tac-

nodal point. Toutes les sections planes de la surface, passant par un tacnode, ont en ce point un point double où il y a contact de deux branches. La transformation faite plus haut

m=XZ, y=YZz donne

(EF) X2+ XZ 4, (X, Y, 1) + ZL'ECX, 1) +. —=0:

La surface transformée (EF) a pour ligne double la droite == 0: L—=0

et en général les deux plans tangents à la surface en un point arbitraire de cette droite double seront distincts.

9. Après ces cas particuliers, occupons-nous de l’étude générale des singularités. Nous ne suivrons pas les auteurs cités ci-dessus, dans les démonstrations desquels subsistent peut-être quelques difficultés, et nous aborderons le problème d’une autre manière. Mais revenons d’abord un moment sur les courbes planes. On sait que M. Nœther s'est servi, pour dissoudre les singularités d’une courbe plane, d’une succession de transformations quadratiques. Dans un article récent (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1896) M. Vessiot s’est servi pour l'étude des courbes planes d’une transformation intéressante que nous allons rappeler; soit

J(æ, J)=0, l'équation de la courbe donnée sur laquelle on a d’abord fait une transformation homographique arbitraire. Posons

Ke 7

On aura une nouvelle courbe entre X et Ÿ, qui correspondra uniformément à la première. On la transforme homographiquement, et l’on recommence la transformation précédente; après avoir opéré ainsi un certain nombre de fois, tous les points singuliers de la courbe initiale auront été transformés en points simples de la dernière courbe obtenue. Nous appellerons transformation S une transformation permettant d'obtenir ce résultat.

Ceci posé, considérons une surface algébrique f ayant une Ligne

multiple L (réductible ou non) de nature quelconque. Faisons pivoter un plan autour d’une droite arbitraire ; ce plan, dans chacune de ses positions, coupe la surface suivant une courbe C ayant comme points multiples ses points de rencontre avec la ligne L. Or au moyen d’une transformation S nous pouvons transformer la courbe C en une autre telle que les points multiples de C correspondent à des points simples de la courbe transformée; quand le plan pivote autour de la droite, nous pouvons faire usage d’une transformation S variant elle-même d'une manière continue, et telle que les coordonnées du point transformé soient des fonctions rationnelles des coordonnées du point primitif. On remarquera que pour certaines positions particulières du plan la courbe aura des singularités plus complexes que pour une position arbitraire ; pour ces positions on devra alors employer pour former S un plus grand nombre de transformations élémentaires. C’est le maximum de ce nombre que l’on devra prendre dans tous les cas, pour être assuré d’avoir une transformation qui dissolve les singularités de la courbe C pour toutes les positions du plan. On obtient de cette manière une transformation, que nous pouvons, en employant les coordonnées homogènes, mettre sous la forme

: : ui Z E PCT, 5 1) Pre 0) Pa(x, y,4,6) PA en)

les P étant des polynomes homogènes de même degré en x, y, z,t. Les polynomes P s’annulent tous les quatre pour la ligne mulüple L. Les formules précédentes font correspondre à la surface f une surface Ê, et à la ligne multiple L de f correspond sur F un certain nombre de lignes simples ne passant pas par des points muluiples de cette surface; ceci résulte évidemment de ce que dans chaque section tous les points multiples ont été transformés en des points simples de F; la transformation qui a réduit la ligne muluple L a fait naître d’autres singularités, mais le point essentiel pour nous actuellement est /a réduction de la singularité formée par toutes les lignes multiples de la surface.

Le théorème qui a été démontré tout à l’heure (n° 3) dans un cas très particulier résulte immédiatement de ce qui précède, dans toute sa généralité. A la ligne multiple L de a correspondent sur F des lignes simples, et il est clair que pour de telles

lignes on peut avoir, au moyen d’un nombre limité de développements holomorphes, l’ensemble des points de la surface situés dans leur voisinage.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que la surface avait seulement comme singularités des lignes multiples. Il pourrait y avoir en outre des points singuliers isolés, mais ceci n’est la source d'aucune difficulté et les mêmes considérations sont applicables. On réduira en effet cette singularité en transformant les sections faites par un plan pivotant autour d’une droite qui passe par le point multiple. En combinant ces diverses transformations, on arrive ainsi en définitive à une transformation de la forme indiquée plus haut

ie Je M a. Z e T Fe cle Pr, rasu)n Pile yet) L Pt yat)

qui réduit toutes les singularités de la sur face. Les polynomes P ne s’annulent simultanément que pour les points ou lignes multiples de f, et, sur la surface transformée F, des points simples correspondent aux points singuliers de f. La surface F aura d’ailleurs en général des lignes multiples qui correspondent à des ensembles de couples de points simples (x,7,3,t)et(x!,y',z/,#) de la surface f, pour lesquels les rapports des polynomes P ont même valeur.

6. La réduction des singularités de la surface est achevée, mais on peut aller plus loin, en cherchant à diminuer autant que possible les singularités de la surface transformée. Envisageons les

équations 1 — P1%, BR == LEP, sie, or Unit, Lors Ls— Po, D Ne, Daho.

Ta = P3>, Lio = P3Y; Tu = P34, Ta = Pat, Z33 — PT, Zu Piÿ; Gas P,3, Ti Pit.

Nous pouvons regarder (is Paru ie) COMME des Core

données homogènes dans un espace E,; à quinze dimensions (complexes). Une variété V à deux dimensions complexes, que nous pouvons appeler une surface, se trouve ainsi définie dans l’espace E,;. La surface V correspond uniformément à la surface f;

en effet, à un point arbitraire de V ne peuvent correspondre plusieurs points de f, puisque, d’après la forme même des équations précédentes, les valeurs de æ;, y, 7, b'quileur Sins seraient proportionnelles. De plus, cette sur face n'a pas de points singuliers. En effet, tout d’abord, aux points multiples de Ja surface initiale f, ne re OCR que des points simples d’ après la propriété de la transformation

OR re P, TIP, tp. nl

ensuite à deux points simples distincts de la surface f ne peut correspondre le même point de V, car si à deux points (x, y, z, t), (x', y', 3, 0), de f correspond le même point de V, on aura

nécessairement

et ces deux points ne sont pas distincts.

Nous avons donc le théorème suivant : À une surface algébrique quelconque f de l’espace à trois dimensions on peut faire correspondre d’une manière birationnelle une surface n'ayant pas de points singuliers dans un espace à quinze dimensions.

On peut réduire beaucoup le nombre des dimensions de l’espace dans lequel on peut avoir une surface sans singularités correspondant RU RAORTARER CES à la surface primitivement donnée dans l’espace à trois dimensions.

Pour faire cette réduction ultérieure, rappelons quelques généralités sur la notion de perspective prise dans son sens le plus étendu, qui, posée d’abord par Clifford, a été surtout utilisée par les géomètres italiens et particulièrement par M. Veronese dans des recherches d’un grand intérêt. Considérons un espace S, à r° dimensions, où nous désignons les coordonnées d’un point ar-

bitraire par T1, Ta; ….. Ty.

Un espace linéaire S,:, contenu dans S,, est l’espace S, où l’on suppose les + liées par 7 — r' relations linéaires. Un espace S,= sera par conséquent défini par e relations linéaires entre les x.

SINGULARITÉS D'UNE SURFACE ALGÉBRIQUE. St

Etant donné un espace linéaire Sr, contenu dans S,, prenons un point arbitraire À de S,. On peut par A et Sr) faire passer un espace linéaire S,,,,; soient en effet

Ur; Ur =o: ….., U,= 0 les p relations linéaires déterminant S,,; prenons la combinaison A1 Ur + Xe Us +. nie ApUp= 0,

et écrivons qu'elle est vérifiée par les coordonnées du point A. Alors un des À, soit À,, est déterminé en fonction des autres, et nous avons une relation

NE À 9-1 Vo = LE

qui, quels que soient les À, est vérifiée par les coordonnées de À, et qui est aussi vérifiée par les coordonnées des points de S par suite, les équations