PRES

face V en prenant S, comme point de vue. La surface V’ n’aura pas non plus de point singulier si S, est arbitraire ; un point multiple de V' devrait correspondre en effet à la fois à deux points distincts de V. Nous aurions donc pour déterminer ce point cinq relations entre les quatre paramètres dont dépendent les coordonnées de ces deux points, et ces relations ne seront pas compatibles si S, et S; sont choisis arbitrairement. Nous avons donc

le théorème suivant :

A une surface algébrique quelconque HE = 0

on peut faire correspondre birationnellement, dans l’espace à cinq dimensions, une surface n'ayant aucune singularité.

Le raisonnement précédent montre encore que, si l’on projetait sur un espace S,, on obtiendrait dans cet espace à quatre dimensions une surface ayant seulement des points singuliers isolés. Enfin, projetons dans un espace S;,, en prenant par conséquent comme point de vue un espace S,,; la surface perspective va avoir une ligne singulière puisque le nombre des équations à écrire est égal à trois et que nous avons quatre inconnues, ce qui est à rapprocher d’ailleurs de ce que nous avons dit au n° 1. Les singularités seront alors, pour S, et S,, arbitraires, une ligne double généralement avec des points triples, comme nous l’avons vu dans ce même numéro. Par suite :

A toute surface algébrique J(Z, D) =0;

à singularités quelconques, on peut faire correspondre birationnellement une surface

FIXANT AZ) — 0, n'ayant d’autres singularités qu’une courbe double avec des

points triples, ces singularités étant les plus générales de leur nalure.

Nous donnerons souvent, par la suite, le nom de singularités ordinaires aux singularités précédentes. Les points triples de la

courbe double sont en même temps des points triples de la surface; en ces points, le cône des tangentes se réduit à trois plans formant un angle trièdre. Sur une ligne double, les deux plans tangents sont en général différents; il peut toutefois y avoir certains points où les deux plans tangents sont confondus. Ce sont les points que les géomètres anglais appellent pérch-point (pointpince); ces points seront les plus généraux de leur nature.

II. — Définition des ordres de connexion d’une surface algébrique.

9. Nous allons maintenant définir les ordres de connexion d’une surface algébrique. Il est auparavant nécessaire de faire quelques remarques relativement aux variétés qui s'étendent à Pinfini. Dans les études d'Analysis situs faites au Chapitre II, il a toujours été supposé que les variétés étaient entièrement à distance finie. Quand on a des variétés qui s’étendent à l'infini, les nombres relatifs aux connexions peuvent varier avec l’idée que l’on se fait de la nature des points à l'infini.

Prenons d’abord le cas très simple du plan indéfini; c’est une variété à deux dimensions. Quelle connexion linéaire doit-on lui attribuer? Si, comme on le fait dans la théorie des fonctions d’une variable complexe, on assimile le plan indéfini à une sphère par inversion, on est ramené à la variété formée par la surface d’une sphère, et l’on doit prendre, comme on le fait,

Pi= x:

On pourrait toutefois se placer à un autre point de vue. Le plan indéfini correspond à l’ensemble des valeurs de x et y variant entre —+ et +; on peut transformer l’axe des x en une circonférence, et pareillement pour l’axe des y. On a alors la variété formée par deux circonférences, considérée au Chapitre IT (n° 17); pour celte variété, on a

DE de

Par conséquent, suivant le point de vue auquel on s’est placé, on a des nombres différents pour exprimer l’ordre de connexion linéaire p, d’un plan simple.

8/ CHAPITRE 1YV.

Ceci dit, si nous considérons une surface algébrique

nous avons là évidemment une variété à quatre dimensions réelles. Si nous voulons la regarder comme une variété fermée, nous devons la ramener tout entière à distance finie, ce qui va préciser la facon dont on envisagera les points à infini. On pourrait faire différents choix, mais si l’on veut laisser à la variable complexe son autonomie, il faut se représenter x, y, 3 comme des points situés chacun sur une surface sphérique correspondant à cette quantité complexe. On aura alors, représentée par l’équation f =, une variété fermée située tout entière à distance finie.

Relativement à la valeur de ses ordres de connexion, une circonstance pourrait gêner. Notre variété se coupera elle-même, si la surface f a des points singuliers. On évitera bien aisément cette difficulté en se reportant à la surface V de l’espace à cinq dimensions qui correspond uniformément à f; on représentera sur une sphère chaque coordonnée complexe de l’espace à cinq dimensions, et la surface V définira une variété fermée à quatre dimensions réelles, située tout entière à distance finie, et ne se coupant pas elle-même.

Ayant maintenant une telle variété, nous savons qu’elle a trois ordres de connexion

Pi; Pa Pa; correspondant respectivement à une, deux et trois dimensions. Mais, d’après le théorème général établi à la fin du Chapitre précédent, on a Pi P3;

et nous avons, par suite, seulement à introduire, dans la théorie des surfaces algébriques, les deux nombres

Pi et P2; correspondant respectivement à la connexion linéaire et à la connexion à deux dimensions (). Nous allons nous occuper,

(*) Ces deux nombres ont été introduits pour la première fois dans la théorie des surfaces algébriques par M. Picard, dans son Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables; les notations étaient un peu différentes, p, et p, étant remplacés par p,+r et p,+rt.

dans les Sections suivantes, de la connexion linéaire. Prenons seulement ici le cas particulier de l’espace à quatre dimensions correspondant aux deux variables complexes indéfinies æ et y. Quels ordres de connexion devons-nous attribuer à cette multiplicité? Nous avons à considérer les deux surfaces sphériques correspondant aux variables complexes æ et y, et nous avons par suite le conunuum déjà considéré au n° 19 du Chapitre IL, c’est-à-dire que l’on doit prendre

Pi=Tt]; =

Tels sont, au point de vue où nous nous plaçons, les ordres de connexion pour l’espace indéfini (x, y).

Lorsqu'il s'agira de la détermination des nombres p, et p», les considérations purement géométriques présenteront le plus souvent de grandes difficultés, que l’on évitera en se plaçant au point de vue transcendant (Chap. IT, n° 18), c’est-à-dire en envisageant le nombre p comme représentant le nombre de périodes distinctes de certaines intégrales. C’est à ce point de vue que nous nous placerons ultérieurement pour la détermination de p1.

III. — Généralités sur la connexion linéaire dans les surfaces algébriques (!).

10. Nous allons approfondir l'étude du nombre p,, et démontrer tout d’abord un théorème fondamental relatif à ce nombre, à savoir qu’él est, en général, égal à l’unité; c’est seulement pour certaines surfaces particulières que p, est supérieur à un.

Un cycle linéaire est un continuum fermé à une dimension (réelle). Si la surface est donnée par l'équation

on peut, en particulier, considérer dans l’espace à quatre dimensions relatif aux deux variables complexes x et y, une courbe fermée telle que, en partant d’un point (r4, 34) de cette courbe,

(*) E. Picarp, Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables indépendantes (Journal de Mathématiques, 1889).

avec une valeur initiale z, pour 7, on revienne au point de départ avec la même valeur de 3. On suppose, bien entendu, que la courbe ne rencontre aucun système de valeurs singulières de la variable z considérée comme fonction de x et y. Ces valeurs singulières seront évidemment fournies par les deux équations

HER 2)= 0) JET VI2)=10, L'élimination de 3 entre ces deux équations donne une équation R(x, y) 0»

Nous ne diminuons pas la généralité, en supposant que celte équation R contient x, dans le cas où elle est irréductble, et qu'il en est de même de chacun de ses facteurs si elle est décomposable en plusieurs autres; il suffit de faire préalablement une transformation homographique pour réaliser cette condition, qui peut encore s'exprimer en disant qu'il n’y a pas de singularités définies par une équation y = const.

11. Ceci posé, montrons en premier lieu que tout cycle linéaire peut, par une déformation continue, être ramené à étre situé

dans un continuum M—iconst.

Nous n'avons qu’à reproduire à peu près un raisonnement fait au, n° 11 du Chapitre Ill: En posant x — 7, 0x, Y =Y1+iÿ2, nous pouvons regarder le cyele C comme défini à l’aide des expressions de x,, æ, et y: en fonction de 13 cette dernière variable variera entre deux valeurs extrêmes & el b. Partons sur le cycle d’un point M, correspondant à la valeur y}; quand M parcourt le cycle, menons par chaque position de M une droite de l’espace (x, æ2, 2), qù Ji a la valeur correspondant à M, variant d’une manière continue et uniquement assujettie à la condition de

ne pas rencontrer le continuum R à deux dimensions défini par l’équation

(1) RCE) 0:

Quand Mreviendra en M, la position finale de la droite pourra ne pas coïncider avec sa position initiale. Considérons alors la

variété à trois dimensions (2) J'2 = Le

Chacune des droites rencontrera en un point cette variété, de sorte qu’à chaque point M de C correspond un point » de la variété (2), sauf pour le point M,, auquel correspondent deux points m9 et m,. Nous formons ainsi une courbe fermée H composée des deux segments de droite M, m, et m,Mo (pour lesquels on ay1—=#}), et de la courbe F lieu des points mn avec le sens de mo en m,. Il est manifeste qu’on peut passer de C à H par une déformation continue sans rencontrer R, puisque aucune des droites ne rencontre R. Or, nous allons maintenant considérer H comme une somme de deux courbes. On a pour les points m5 et m,

J1=YY J2=ÿA,

et, en ces points, 3 a des valeurs déterminées z, et z,. Il sera possible, en faisant seulement varier x, de décrire une courbe y allant dans le continuum

pro du point m; au point mn, et telle que z aille de 3, à 2. Il suffit alors d'envisager la courbe fermée formée de