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et la courbe fermée formée de

Momo, —y et miM;

la somme de ces deux cycles donne le cycle C; le premier de ces cycles est contenu dans l’espace

et le second dans l’espace Ji= 71

Or nous avons vu précédemment (loc. cit., Chap. IT), et il est d’ailleurs évident que tout cycle contenu dans l’espace y =y, c’est-à-dire pouvant être figuré dans l’espace à trois dimensions (Zi, &o, V2), peut être ramené dans le plan y:— y», pourvu que y\ ne soit pas une valeur spéciale, et il en sera de même pour le second cycle en intervertissant y, et y2. Finalement, les deux cycles,

et par suite C, sont ramenés, par une déformation continue, à être dans le continuum FENICEe MERS où le second membre est une constante arbitraire; c'est ce que

nous voulions montrer.

19. Pour démontrer le théorème énoncé au n° 10, plaçons-nous d’abord dans un cas très simple, en examinant le cas où l'équation

de la surface serait de la forme 22 f(x, Yh

et où nous supposerons que f(æ, y) est un polynome arbitraire de degré m. Nous allons chercher à nous rendre compte de la nature des cycles linéaires de cette surface. Donnons à y une valeur arbitraire; l'équation

Ja, 7)= 0

aura 7» racines disuünctes; si l’on considère x comme fonction de y, deux valeurs de + seulement deviendront égales pour chaque valeur singulière de y. Soient, pour une valeur y, non singulière de y,

0 0 0 Lis De, +. Tyn

les m valeurs de x. Nous avons pour y un certain nombre de posi- Uons singulières, et l’on peut, comme on sait, disposer dans le plan de la variable y des lacets partant de y, et jouissant des propriélés suivantes : un certain nombre de ces lacets, dans un ordre déterminé autour de y,, permutent x? et x?, les suivants permutent æ, et æ, et ainsi de suite, jusqu’à un dernier ensemble de lacets permutant æ°, , et æ. Prenons sur un lacet permutant me etæ, un point y! voisin du point de ramification D, on aura deux valeurs z, et x, de x, et x qui seront voisines; entourons-les par une petite courbe -. Quand y varie à partir de y, les valeurs correspondantes des æ varient; pendant cette variation, déformons en même temps la courbe y de manière qu’elle ne rencontre aucun de ces points æ pendant cette déformation (la courbe y pourra alors cesser d’être très petite, du moins dans les deux dimensions). Si, en particulier, y vient en J'o en ayant suivi le

lacet considéré, la courbe y sera devenue une courbe C;, comprenant à son intérieur les points æ® et +9, tandis que les autres valeurs des æ° sont à l'extérieur. Si maintenant y partant de y décrit un lacet permutant +? et æ° et revient en y,, le contour Cy, sera devenu, par une déformation effectuée toujours dans les mêmes conditions, un contour C,, comprenant à son intérieur x? et æŸ, et ainsi de suite. Nous arrivons donc ainsi à tracer sur le plan de la variable x des contours

C9, C3, SONO Ge

enveloppant chacun deux racines et deux racines seulement de l'équation

POEN

Or, tous les cycles de la courbe algébrique entre z et x,

= f(x, yo),

se ramènent évidemment à une somme des contours précédents, et nous avons vu, d'autre part, au paragraphe précédent, que tous les cycles de la surface proposée se ramèneront aux cycles de cette courbe. Mais ces derniers ne sont pas distincts puisque, par une variation convenable de y, on peut, en revenant à 7», permuter les cycles C les uns dans les autres. Nous sommes donc déjà assuré que tous les cycles de la surface se ramèneront à un seul, et nous pouvons supposer que ce cycle unique est le cycle C,2. Enfin, celui-ci se ramène au petit cycle y tracé dans le continuum y —y' autour de æ' et æ,; ces deux dernières valeurs diffèrent très peu elles-mêmes de la valeur x = 4, racine double de l’équation CAO) =

Or, l'équation de la surface peut s’écrire

z?=B(y—b)+A(x— a) +... (AB Zo),

les termes non écrits étant de degré supérieur au premier; il en résulte que le point (a, b,0o) est un point simple de la surface. Nous avons donc un cyele très petit tracé dans le voisinage d’un point sémple de la surface; or, un tel cycle se ramène manifestement à zéro, car, si l’on considère, dans l'équation de la surface, y comme fonction de æ et de 3, on n’a plus aucune singularité.

Nous avons donc démontré que, pour la surface

tous les cycles se réduisent à des cycles nuls; on a, par suite, pour cette surface, pi =

13. Nous avons supposé, dans le paragraphe précédent, que f(æ, y) était le polynome le plus général de son degré, mais on voit facilement que la conclusion sera la même dans bien d’autres cas. Si l’on réfléchit à l'analyse qui vient d’être développée, on voit que son succès tient à la circonstance suivante : £'tant donnés deux groupes de deux racines

) et CAE

on peut, quand f est un polynome général, en faisant décrire à y un chemin convenable partant de y, et y revenant, passer du premier groupe au second. En effet, on peut d’abord transformer chacun des or précédents de manière que l’une de

ces racines soient æ}; On aura ainsi les deux groupes

4 2 (æt,æg) et (zf,zé) (ar, 8 1).

Si 4 — $, la remarque est établie; dans le cas contraire, on pourra faire décrire à y, partant de y, et y revenant, des lacets qui transformeront x, en x sans modifier æ}, et nous avons encore le résultat voulu.

La circonstance indiquée peut se présenter, même quand f(æ,y) est un polynome très particulier. Il suffira que l’on puisse trouver un système de 7 — 1 lacets binaires PUR HA CE TES puis une des deux racines æ°, æ° avec une troisième Fe et ensuite une des trois racines 4 3 LS 5) de avec une quatrième g, 5 CL ainsi de suite. Il en sera ainsi, en parüculier, si tous les points de ramification permutent seulement deux racines.

14. Nous avons considéré (n° 12) une surface d'une forme parüculière; on peut déjà présumer, d’après le résultat obtenu, que, pour la ne. la plus générale de degré m, on aura aussi Fr — ir

Pour le voir nettement, prenons la surface PAIE

soù f(x,y) est un polynome arbitraire de degré m. Les raisonnements, faits pour le cas de » — 2, sont applicables avec bien peu de modifications ; tous les cycles de la courbe

am= f(2,),

où l’on regarde 7 comme un paramètre, peuvent être obtenus de la manière suivante. Soient æ,, æo, ..., &m les m racines de l'équation f(&,7)=0;

on aura un cycle en décrivant p fois un lacet autour d’une racine Zi, et en faisant suivre ce chemin d’un lacet décrit »m — p fois autour d’une autre racine 4. Si l’on donne à y une valeur voisine d’une valeur singulière, on aura deux racines #, el x», par exemple, voisines l’une de l’autre, et les deux lacets, formant le cycle précédent, peuvent être pris très petits, de sorte que le cycle considéré est un cycle infiniment petit. Il n’y a alors rien à changer aux raisonnements faits plus haut : nous sommes encore conduits à des cycles infiniment petits dans le voisinage d’un point simple de la surface, et par suite tous les cycles se ramènent à zéro.

La surface précédente a encore une équation de forme particulière, mais elle n’a pas de points multiples. Or, si l’on prend une surface de degré m sans singularités, et que l’on fasse varier, d’une manière continue, les coefficients de son équation sans que la surface acquière jamais de points singuliers, la connexion linéaire ne variera pas, puisque la surface, pendant sa déformation, n'arrive jamais à se couper elle-même, et que tout cycle infiniment petit ne cesse pas d’être réductible à un cycle nul. Nous avons donc établi que tous les cycles linéaires d’une surface de degré m, sans points singuliers, se ramènent à zéro; on a, par suite, pour cette surface