PI

comme nous l’avons énoncé.

13. Nous avons rencontré, dans les démonstrations précédentes, des cycles infiniment petits autour de points simples de la surface. De pareils cycles se réduisent à des cycles nuls, mais un cycle infiniment petit, dans le voisinage d’un point sin— gulier d’une surface algébri pie peut ne pas se réduire à un cycle nul. On conçoit, en effet, qu ‘à une courbe infiniment petite, tracée dans le voisinage d’un point multiple, puisse correspondre une courbe finie sur la surface sans singularités, d’un espace à cinq dimensions, à laquelle est équivalente notre surface. Pour en avoir un exemple très simple, il suffira de considérer un cône

(x, y, z) 15} de degré m, ayant son sommet en x —y = z — 0. Considérons l'intégrale (3) Q(x,y,2)(x dy — y dx)

Q(x,y, 3) étant un polynome homogène adjoint d'ordre m — 3, pour la courbe représentée en coordonnées homogènes par @ = 0; celle intégrale est visiblement une intégrale de différentielle totale, et l’on peut aussi la regarder comme uneintégrale de première espèce, relative à cette courbe que nous supposerons de genre supérieur à zéro. On pourra avoir, dans le voisinage de

T—0, y —0,:—0, un cycle infiniment petit qui ne se réduise pas à un cycle nul; il est possible, en effet, d’avoir des cycles infiniment pelits pour lesquels la période de l'intégrale précédente sera différente de zéro. Il suffit de prendre un cycle sur la surface de Riemann correspondant à la courbe

PU, PT) — 0 et de poser

n SR

pour z—e, correspond, sur la surface, un cycle infiniment petit si € est infiniment pelit, et pour ce cycle l’intégrale (3) aura une valeur différente de zéro : Le cycle infiniment petit ne se réduira donc pas ici à un cycle nul.

16. Indiquons, de suite, une classe assez étendue de surfaces

pour laquelle le nombre p, sera supérieur à l'unité. Soit une surface f pour laquelle les coordonnées (x, y, 5) d’un point quelconque soient susceptibles de s'exprimer de la manière suivante :

: æ = Ri(a, 8, a’, 8"),

D Al R>(a, B, A 6’ |, SR ter, DU

les R étant fonctions rationnelles des 4 et des 8, et l’on a o(z, 8) =, ÿ(o’, B'}=0,

9 et ® étant des polynomes irréductibles; on suppose, de plus, qu'à un point arbitraire (x,y,3) de la surface ne correspond qu'un seul système de valeurs de (4, 8) et (2x, B').

Si l’on considère les deux surfaces de Riemann correspondant aux courbes © et Ÿ, l’ensemble de ces deux surfaces forme un continuum fermé à quatre dimensions, qui correspond, point par point, à la surface f. Or, nous avons étudié précédemment (n° 21, Chap. Il) ce continuum ; on aura donc

Pi=2P+25p +,

en désignant par pet p' les genres respectifs des courbes o et dU.

IV. — Étude plus approfondie du nombre des cycles linéaires d’une surface donnée (!).

17. Abordons maintenant la recherche du nombre p, relauf à la connexion linéaire d’une surface donnée

Tree) 10€ nous supposerons que les axes sont quelconques par rapport à la surface et que celle-ci n’a que des singularités ordinaires. Nous avons, dans ce qui précède, ramené tout cycle linéaire de la surface

dans un continuum y — C, et étudié sa déformation d’une manière géométrique. Ceci nous a suffi pour montrer que p, était

(:) É. PicarD, Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables, et Sur la théorie des surfaces algébriques au point de vue de la Geometrie de situation et sur les intégrales de différentielles totales (Comptes rendus, 15 mars 1897).

égal à l'unité pour la surface générale d'un degré donné, mais il ne paraît pas possible d'aller bien loin, par cette voie géométrique et de suivre ainsi la transformation des cycles sur la surface

de Riemann (4) (2,9, 5)=0;

correspondant à la relation algébrique entre x et z, surface de Riemann dépendant du paramètre arbitraire y. Quand, dans les formules qui vont suivre, nous considérerons y comme un para-

mètre, nous le surmonterons d’une barre.

18. Pour pouvoir étudier cette transformation, nous allons recourir à une considération qui va jouer, dans la suite, un rôle capital; quelques explications préliminaires vont être nécessaires. Nous partons de la courbe (4). Prenons une intégrale abélienne de seconde espèce, relative à cette courbe pour y arbitraire; nous pouvons trouver une telle intégrale de la forme

( F(x, Y,2)dx Il EE e Ju

où F, quiest nécessairement rationnelle en x et 3, est aussi rationnelle en y. Il est clair, en effet, que, dans toutes les condi- Uons à écrire pour qu'une intégrale soit de seconde espèce, les points doubles de la courbe f figurent de la même manière et, par conséquent, y figurera d'une manière rationnelle dans l’élément différentiel.

Les périodes de l'intégrale (1) sont des fonctions de y; elles satisfont à une équation linéaire dont les coefficients sont des polynomes en y, et dont l’ordre est égal au double du genre de la relation f si l’intégrale est prise arbitrairement (1). Nous désignerons par p le genre de la courbe f, pour y arbitraire; nous avons alors une équation linéaire E d’ordre 2p, à coefficients rationnels, et appartenant à la classe des équations de Fuchs à points singuliers réguliers. Nous n’aurons pas besoin de former

(*) L'étude des périodes d’une intégrale abélienne relative à une courbe algébrique dépendant de paramètres arbitraires a été faite par M. Fuchs, dans deux importants Mémoires du Journal de Crelle (t. Ti et 15):

effectivement l’équation E; il nous suffit de connaître son existence.

19. Les points critiques de l'équation linéaire E sont faciles à trouver : ce seront nécessairement les valeurs de y pour lesquelles le genre de la courbe f descend au-dessous de p. L'emploi du langage géométrique facilite cette recherche ; on à à considérer les sections planes de la surface

HE a) 0)

par les plans y = const. Le genre de la section s’abaissera d’une unité quand la section sera tangente à la surface en un point simple; le point de contact deviendra, en effet, un point double pour la section. Il n’y aura aucune autre valeur singulière de y. Les seules valeurs de y sur lesquelles on pourrait & priort avoir quelque doute sont celles pour lesquelles le plan est tangent à la courbe double, sans être tangent à l’une des nappes de la surface passant par ce point. Pour une section voisine, on a deux points doubles ; pour une section tangente à la courbe double, ces deux points doubles viennent en coïncidence, et l’on a un contact de deux branches, ce qui ne modifie pas le genre de la courbe. Quand la section passe par un point triple de la courbe double, le genre n’est pas non plus modifié, puisque ce point triple remplace trois points doubles d’une section voisine. On voit facilement comment se comportent les intégrales de l’équation E en un point singulier y —d; le plan y — b est tangent à la surface en un point (a, b,c). Nous pouvons toujours supposer que la courbe de la surface, correspondant à F(x,y,z)—c, ne passe pas par les points (a, b, c). Pour y voisin de b, la courbe

a deux poinis de ramification voisins de (a,c); ces deux points de ramification se confondent pour y = b et leur superposition fait naître un point double. Soient (+, z,) et (æ2, 52) les deux points de ramification voisins de (a,c) quand y est voisin de b; dans le plan de la variable complexe x, on a un cycle formé d’une petite courbe enveloppant les points x, et æ2. La période correspondante sera une fonction holomorphe de y dans le voisinage de y = b, et sa valeur pour y — b scra, en général, différente de zéro,

mais elle correspondra alors à une période logarithmique de l’intégrale (1) qui aura, au point (a, c), un point logarithmique. Une seconde période de l'intégrale sera obtenue à l’aide d’un lacet aboutissant au point (æ,, 31), et d’un autre lacet de même origine, convenablement choisi, aboutissant à un point de ramification autre que (æ>, 32). Il s’agit de voir quelle modification subira cette période quand y tournera autour de D; figurons les points æ, et», et l’origine æ#, du lacet. Nous avons à rechercher les modifications des intégrales correspondant à ces lacets, quand x, et x, se permutent. Dans cette permutation, le lacet (x,4,) en trait pleim

To (Lo, 26)

devient le lacet (x94:) en pointillé. Désignons par z, et z,, les deux valeurs de 3 en x, qui se changent l’une dans l’autre, quand on suit l’un ou l’autre des deux lacets. Montrons que l'intégrale ane prise suivant le lacet pointillé, est égale à l'intégrale (1), prise le long du lacet plein (x,æ,) augmenté de l'intégrale prise le long d’une courbe entourant x, et x, ou, ce qui revient au même, de l'intégrale obtenue en parcourant successivement les deux lacets pleins; soient, en effet,

1 1 le L,

e x A S 1 Lo à les valeurs de l’intégrale (1) prises de x, en æ,, en prenant res- , à Fr un : à pectivement 3, et 3, comme valeurs initiales de 3, et introduisons pareillement

SINGULARITÉS D'UNE SURFACE ALGÉBRIQUE. 97 donc

Lt (11) (= 1.)

ce qui démontre la relation annoncée.

L'équation E a donc une seconde intégrale non holomorphe autour du point b, et le résultat précédent montre qu’elle forme avec la première intégrale (qui est holomorphe), un système de deux intégrales correspondant à une racine double de l'équation fondamentale déterminante; un terme logarithmique log(y — b) s'introduit dans le développement de la seconde intégrale autour de y — b. Toutes les autres intégrales de l’équation (E) correspondant à des cycles de l'intégrale (1) où ne figurent pas les lacets aboutissant à (x,,3,) et (42, 32) seront holomorphes autour de PEN6:

D'après la forme même de la substitution linéaire, que nous venons d'obtenir, correspondant à une rotation de y autour du point b, le groupe de l’équation E sera formé de substitutions linéaires à coefficients entiers; ce résultat était d’ailleurs évident a priori. Quand y revient à son point de départ, on trouve un nouveau système de périodes, et celles-ci doivent être des sommes de multiples des périodes initiales. |

Remarquons encore que le point y — + ne sera pas un point de ramification pour les intégrales de l’équation E, c’est-à-dire que celles-ci seront méromorphes pour y — +. En effet, si dans l’équauon

on poseæ = x'y, = —2y, on aura une équalion de la forme Fro(g',z)+ y 1o1(x", 3)... =—0,

que l’on peut écrire o(x',z') + eu M(X', 3 )+...= 0.

Pour y — «, la courbe devient

elle est de même genre que la courbe donnée pour y arbitraire et, par suite, y = n’est pas un point de ramification pour les intégrales.

PAtETLS 7

90. Le cas le plus simple d’une équation différentielle telle que E est celui de la courbe hyperelliptique

32—(x— a)(t —@3)...(æ — an)(r —ÿ),

où les a sont des constantes différentes. L’équation différentielle E que l’on obtient alors rentre dans un type bien connu, celui des équations différentielles hypergéométriques: les points singuliers de l’équation différentielle sont les points

ŸY = di; J = A; ….. F — An-1; =D,

et les résultats énoncés au numéro précédent se vérifient immé-

diatement.

21. Ces préliminaires posés relativement à l'équation différentielle linéaire E, revenons à la question de la sransformation des cycles de la surface de Riemann correspondant à la relation algébrique entre x et

fai

dépendant du paramètre arbitraire y. C’est l'équation E qui va nous permettre de suivre la déformation des cycles. Dans le cas général, c’est-à-dire si f est le polynome général en x, y et z, l’équation E sera irréductible; considérons alors les cycles donnant les 2p périodes de l’intégrale (1). Soit pris un de ces cycles et la période correspondante; en faisant décrire à y tous les chemins possibles, nous reviendrons au point de départ avec 2 p déterminations linéairement indépendantes de la période. Suivons alors pendant la variation de y, en même temps que la variation de la valeur de la période initiale, la déformation continue du cycle correspondant; nous arrivons ainsi à 2p cycles, et par suite tous les cycles se réduiront à l’un d’entre eux. Si nous prenons y dans le voisinage de la valeur singulière b, nous pourrons prendre comme cycle initial le cycle très petit entourant les deux points (Li, 1) et (2, 32) voisins de (a, c) (voir n° 10); tous les cycles se ramènent à ce cycle très petit qui se ramène lui-même à un cycle nul, puisqu'on est dans le voisinage d’un point simple de la surface : nous retrouvons le résultat déjà obtenu quépi: pour la surface générale d’un degré donné, et la conclusion précédente subsistera dans tous les cas où l'équation E sera irréductible.

ë à | à Fe 22. Plaçons-nous maintenant à un point de vue un peu différent. Désignons par

Wii, UWo, +, Wop

un système de 2p périodes; toute substitution du groupe de l’équation linéaire E est de la forme

S on i Tes (S) Q;= MmiWI+ MyW2—+... + MopWIp (PEN 0100270)

les m étant des entiers; une telle substitution S correspond à une certaine circulation de y et les Q indiquent ce que sont devenus les w après cette circulation. Les équations S peuvent aussi se lire sous forme géométrique; elles indiquent, si C,, …., GC, indiquent les cycles correspondant aux périodes w,, ©», ..., w2p, que le cycle C,, par exemple, s'est déformé avec la variation de y et s’est transformé en une somme de m, fois le cycle C, plus m! fois le cycle C>, plus etc., plus m4}, fois le cycle Co. Envisageons maintenant le continuum à quatre dimensions représenté par l’équation f(x, y,:)=— 0. Sur cette variété, à chaque valeur de y correspondent, conformément à ce qui précède, 2p cycles Ci, C», …., Cp, et chacun d’eux, par une circulation convenable de y, se ramène à une somme de multiples des autres. L'ensemble de ces cycles et du transformé de l’un d’eux forme donc une frontière complète. Par suite, si l’on considère une intégrale de différentielle totale de la nature de celles envisagées (Chap. IT, n° 16) dans lAnalysis situs, et si l’on désigne par