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ses périodes relativement aux cycles C;, C2, ..…., Cp, la période
correspondant au cycle transformé de C, sera encore P,, et de même pour les autres. On aura donc
(x) P/=miPitmiPit...+ mipPrp (E=1,2,.,.,2p), et à chaque substitution du groupe de l’équation correspondront 2 p équations de cette forme. Il arrivera, en général, que, pour une
substitution arbitraire de ce groupe, ces équations donneront
seulement F0; F0; ……., P:p—o.
Donc, pour une intégrale arbitraire toutes les périodes sont nulles,
Lniv. oi uizonaà Library
Fete) CHAPITRE IV.
et nous retombons alors de nouveau sur le fait que tous les cycles se réduisent à zéro, c’est-à-dire que p, = 1. Mais il arrivera certainement, si p, >> 1, queles équations (x), correspondant à toutes les substitutions du groupe de l'équation (E), pourront être vérifiées autrement qu’en annulant tous les P. Supposons alors que de l’ensemble des équations (7) on puisse tirer 2p —r des quantités P en fonction des 7 autres restant arbitraires, il est clair que les périodes P pourront certainement se réduire à r d’entre elles, et par suite le nombre des cycles linéaires distincts de la surface sera au plus égal à 1
Il n’y a pas théoriquement de difficultés impraticables à calculer r; on peut en effet concevoir que l’on forme le groupe de l'équation, et il suffit de former les équations (r) pour les substitutions fondamentales du groupe. En fait, ces calculs seraient bien pénibles et ce sont des considérations différentes qui nous permettront, au Chapitre VI, de calculer r.
Les considérations précédentes, basées sur l’étude d’une intégrale de deuxième espèce dont les périodes sont fonctions de y, ne nous permettent pas d'affirmer que r est égal à p,; — 1, parce que nous n'avons envisagé, en définitive, que des déformations particulières de cycles correspondant à la déformation de la surface de Riemann f(z, 7, 3)= o. Ce nombre r jusqu'ici doit donc être envisagé comme un maximum de p;—1, mais nous allons établir qu'il est effectivement égal à ce nombre. Il nous suffira pour cela de montrer que l’on peut former une intégrale de différentielle totale ayant sur la surface r périodes arbitraires données à l’avance dont aucune ne provienne d’une courbe logarithmique.
23. Considérons 2p intégrales quelconques de seconde espèce telles que I (n° 18), relatives à la courbe f(x, TV; z) — 0. Désignons-
les (1) par L= fer nn (= 1,2, ...,2p).
Ces intégrales ont chacune 2p périodes correspondant aux
(*) Il sera établi au n° 11 du Mu VI que l’on peut supposer que les F sont des polynomes en æ, y et z
mêmes cycles et ont par suite le même groupe de substitutions. Nous allons chercher si l’on peut déterminer des fonctions rœ-
tionnelles de y &i, @2, CON) @2p)
de telle sorte que les périodes de l'intégrale &li+ @2l+...+ Grplp
ne dépendent pas de y. Soient
h hr le ED COCO
les 2p périodes de 13; nous avons à écrire les 2p équations
9 L 2 Mo} + Gui +...+ GopOiP = Pz CE Er 2);
les P étant des constantes. Supposons que ces constantes satisfassent à l’ensemble des équations (+); je dis qu’alors les 2p équations précédentes déterminent pour les & des fonctions rationnelles de y.
Faisons, en effet, décrire à y un chemin fermé auquel correspond la substitution (S); les équations précédentes deviennent
as 2 MDE tt Di rap0 PIN (= tr," 0p)
Mais d’après les valeurs (S), et puisque les P satisfont aux équations (+), ce système d'équations en a sera identique au précédent. On aura donc pour les & des fonctions uniformes de y et par suite des fonctions rationnelles.
Parmi les constantes P, il yen a r d’arbitraires et aucune d’elles ne provient d’un point singulier logarithmique. Pour le prouver il nous suffit de montrer que la période de l'intégrale relative au chemin d'intégration envisagé au n° 19, entourant deux points de ramification voisins +, et æ#, de la fonction 3 de x, correspondant à une valeur y voisine de b, est nulle. Soit w, cette période qui est une fonction holomorphe de y autour de y — b : il y a une seconde période w, correspondant à un chemin entourant seulement un des points, soit +,, et un ou plusieurs autres points de ramification autres que æ», celte période w, se transformant en &2 + w,. Or, pour l'intégrale considérée, ces périodes sont des
conslantes ; on aura donc
Wa — W9 + Wii
et par suite w, est égal à zéro.
Je dis maintenant qu'il y aura une intégrale de différentielle
totale il R dr +S dy, où R etS sont des fonctions rationnelles de +, y, z, dans laquelle
ai F1 + do F2 +...+ asp Fop.
Pour le montrer, il faut déterminer S ; on devra avoir
os 0R 0x — 0y”
en désignant, bien entendu, par 5 R Ja dérivée parüelle, par rapport
à y, de R considérée comme fonction de x et y.
On pense d’abord à prendre
z) yes SE 1 dE = A es
L'intégration qui figure dans l'expression de S est faite en donnant à y une valeur constante d’ailleurs arbitraire, et x, est une constante fixe. On à f(x, y, :)— 0, et 3, est une racine de l’équaon ro lo
L'expression de S, ainsi obtenue, n’a qu’un nombre limité de valeurs : elle n’est pas fonction rationnelle de æ, y, z, mais de +, J,2et, en plus, de 3,; nous éviterons cette ambiguïté en considérant la somme
(654) (x, 3 (x, 3) jl R(x,Y, 3) dx + Rs Y,2)dx +.. + f R(x,y,2z)d7, (x
los 31) (Xo; Z3) (os 2m)
ee
Z13 32, ++.) Zm Étant les m2 racines de l'équation
(Gr, Va) = 0:
Cette somme a une valeur déterminée, à un multiple près des pé-
riodes, en un point arbitraire (x, y, =) de la surface
TV e)e= 0, et par conséquent mn Sue 7 R(z, 140 z)dx y Toner
aura une valeur unique en chaque point (x, y, 3) de la surface, puisque les périodes des intégrales ne dépendent pas de y. Par suite cette expression sera une fonction rationnelle de x, y, 3, car les points singuliers de cette fonction ne peuvent être des points singuliers essentiels. Nous prendrons maintenant la fraction rauonnelle
Sa dérivée partielle par rapport à x T 0 m AE z)]
sera par conséquent la dérivée partielle par rapport à y de la foncuon R. Nous aurons donc une intégrale de différentielle
totale fRar+say
où R et S sont des fonctions rationnelles de x, y ets. Par hypothèse, pour y constant et arbitraire, l'intégrale
fre, Y, z)dx
est une intégrale de seconde espèce; montrons pareillement que l'intégrale
(5:) ÉCHEL est une intégrale de seconde espèce pour la courbe entre y et 3
x ayant une valeur constante et arbitraire.
Or la valeur de l’intégrale (5) regardée comme intégrale indé-
finie est visiblement égale à
(6) L ‘l R(æ, y,<)dr, 1=1
o» Fi
les intégrales dans (6) étant relatives à la courbe f(æ, Ve z)— 0. Pour un système de valeurs (æ, y, z), l’expression (6) aura un nombre fini de valeurs différentes à des multiples près de certaines périodes qui sont les périodes désignées par P. Il faut montrer que, parmi ces périodes, il n’y a pas de périodes provenant d’un point singulier logarithmique. Nous devons donc étudier l’expression (6) en la regardant comme fonction de y, tandis que x et x, ont des valeurs fixes. Or cette expression aura d’abord comme points singuliers les valeurs de y points critiques de la fonction algébrique z de y définie par f(æ, 4 z) — 0; mais il est évident que ces points sont des points singuliers algébriques. Elle pourrait encore avoir pour points singuliers les points y = b; il faudrait alors, en désignant par x, et x, les deux points voisins de ramification de la fonction z de x correspondant à une valeur de y voisine de b qu'on eût le chemin d'intégration passant entre x, et æ2. Il s’agit de voir ce que deviennent dans ces conditions les intégrales figurant dans (6). Or soit l'intégrale de rang r; les valeurs
initiale et finale sont z; et 3 pour la fonction 3; on pourra certainement trouver un aulre chemin C' allant de x, à x et avec les mêmes valeurs initiale et finale pour la fonction :. La valeur de l'intégrale le long de C pourra donc se remplacer par l’intégrale prise le long du contour fermé formé de Cet C! augmentée d’une intégrale prise le long de C/, La première de ces intégrales donne une période, la seconde sera holomorphe dans le voisinage de y —b. Faisons main-
tenant tourner y autour de à en revenant au point de départ; nous devons prendre.pour (6) la différence des valeurs initiale et finale. Mais, la période étant indépendante de y, cette différence sera nulle, et par suite y — b n’est pas un point singulier logarithmique pour l'intégrale (5).
On pourrait encore démontrer le résultat précédent de la manière suivante : quand y a fait un tour autour de b, il y a eu permutation entre +, et #2, et l’on a alors, au lieu de la figure précédente, la disposition suivante (fig. 11). On voit de suite que l’intégrale prise le long du trait plein est égale à l'intégrale prise le long du trait pointillé, augmentée de l'intégrale prise le long d’un chemin partant de +, et entourant +, et æ2, et cette dernière intégrale est nulle, comme nous l’avons vu précédemment.
Nous avons supposé, dans ce qui précède, que y restait à distance finie. Pour étudier le cas où y est dans le voisinage du point æ, posons, comme au n° 19,
D — 29, Gi cp.
L'expression (6) devient une expression de la forme
J d L 4 LL fl
= Sul RICA AD UE f æt.
i=1 ‘ Tor#r
z', 3! et y étant hées par la relation
U LL I 4 4, PT, 2) + —p1(7, 22)... —10.
% Or, pour y voisin de l'o, les points critiques æ,, æ,, .. de la
fonction z/ de x' définie par cette équation sont distincts et restent distincts pour y =. Il n’y a donc aucune difficulté; la somme (6)
reste uniforme dans le voisinage de y —, et par suite ce point n’est pas un point singulier logarithmique pour l'intégrale (5). Il résulte de cette analyse que, pour æ arbitraire, l'intégrale
ÉCHEL
est une intégrale de seconde espèce pour la courbe f(x, y; 3)=0.
24. Nous venons de former une intégrale de différentielle to-
tale
(7) frar+s dy
où R et S sont des fonctions de x, y et z; elle a r périodes arbitraires. Le long de tout cycle infiniment petit, la valeur de cette intégrale est égale à zéro. La chose est évidente, car la surface n'ayant que des singularités ordinaires, tout cycle infiniment petit peut se ramener à un cycle infiniment petit situé soit dans un continuum y — const., soit dans un continuum æ— const. Or nous avons vu que les deux intégrales
ET et fsæ
sont de seconde espèce : donc la valeur de l'intégrale sera nulle sur le cycle considéré.
Nous allons Uurer de là une conséquence de grande impor- 710 1,2 Fr 0 . = tance. L'intégrale (7) ayant r périodes, il n’est pas possible que
Dit QUE
car alors quelqu’une des périodes proviendrait d’un cycle infiniment petit, et nous venons de voir qu'il ne peut.en être ainsi. Enoncçons donc le théorème suivant :
Le nombre p, relatif à la connexion linéaire de la surface est égal à r +1.
25. Nous n'irons pas, pour le moment, plus loin dans cette étude, qui sera reprise au Chapitre VI, quand nous étudierons les intégrales de seconde espèce. Nous pouvons dire par avance que l'intégrale (7) est une intégrale de seconde espèce, et l'analyse
de cette Section établit wne relation étroite entre la connexion linéaire et les intégrales de différentielles totales de seconde espèce. C’est là un résultat capital, qui donne une base solide à l'étude de la connexion linéaire des surfaces algébriques, mais ce ne sera qu'après avoir fait l’étude des intégrales de seconde espèce que nous pourrons reprendre l’étude du nombre p, et montrer comment on peut effectivement calculer r. Disons seulement en ce moment que pour une surface il y a p, —1 intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce : énoncé qui rappelle une proposition classique dans la théorie des courbes algébriques.
