V. — Premier aperçu sur la connexion à deux dimensions

26. Nous avons défini, d’une manière générale, la connexion P2 à deux dimensions d’une surface algébrique. Nous ne voulons pas, pour le moment, approfondir cette notion, mais nous tenons à montrer, dès maintenant, la différence considérable qui existe entre p, et p,. Comme nous l’avons vu, la connexion p, est la même, pour une surface prise arbitrairement, que pour le continuum correspondant aux deux variables indépendantes illimitées æ et y, c'est-à-dire que p, — 1; il en est tout autrement pour p», qui a, en général, une valeur supérieure à la valeur trois correspondant à ce continuum ; par suite, c’est dans la théorie des cycles à deux dimensions d’une surface que se trouve la véritable généralisation de la théorie des cycles d’une courbe algébrique, généralisation que n'avaient pas donnée les cycles linéaires.

Les domaines fermés à deux dimensions, servant à la définition de p:, sont les surfaces cycliques ou les cycles à deux dimensions de la surface s. Il est clair que toute courbe fermée à une dimension, tracée sur un cycle à deux dimensions, est un cycle linéaire de la surface.

Il est aisé de voir que la question des cycles à deux dimensions est intimement liée à celle de la transformation des cycles linéaires en eux-mêmes. Nous avons étudié, dans la Section précédente, la transformation des cycles de la surface de Riemann, définie par

(‘) E. Picarp (Journal de Mathématiques, p. 189; 1889).

la relation algébrique entre x et z,

fl, y: 2) 0; Reprenons l'équation différentielle linéaire E qui a joué le rôle essentiel dans cette théorie; à une intégrale w de cette équation correspond un certain cycle F de la courbe précédente. Faisons alors varier y; le cycle T se déforme, comme nouë l’avons expliqué. Si maintenant, y revenant à sa valeur iniliale, l'intégrale w revient à sa valeur initiale, le cycle T reviendra, à la fin, sur sa position initiale et nous aurons un exemple d’un cycle à deux dimensions de f engendré par le déplacement de la courbeT. Désignons toujours par

Wii, (Wo, .., - Wap

un système d’intégrales de l'équation E; à quelles conditions une substitution S du groupe de l’équation E sera-t-elle susceptible de donner une surface cyclique? Soient

L = 1 2 2 FL < (S) 9; = miui+mÎo)+...+miPuoe (=D),

les équations de la substitution S ; on devra pouvoir trouver une certaine combinaison linéaire |

M; (OS M; Woo Fe M>p Op;

à coefficients entiers, que laissera invariable la substitution S$, ce qui exige que l’on ait

AR 2 2 mi —1 mi Sac mi?

mi Mi —1 ... OP = Gi | mi M3 p TT

A toute substitution S du groupe de l'équation, satisfaisant à la

relation précédente, correspond un cycle à deux dimensions qui LE :

peut d’ailleurs être susceptible de se ramener à un point ou à

une ligne, OU au continuum Z— consl., ou au continuum

MiConets

27. On voit que la considération des surfaces cycliques conduit à une intéressante question relativement à l’équation linéaire E; celte question est celle des cycles de cette équation, c’est-

à-dire des contours fermés ramenant la même valeur d’une intégrale convenable de cette équation différentielle quand on revient au point de départ après avoir parcouru le contour. Mais, comme il a été dit plus haut, nous ne voulons pas pour le moment approfondir ces questions; montrons seulement que, en général, une surface aura des cycles à deux dimensions qui ne seront pas susceptibles, par une déformation continue, de se réduire à un point ou à une ligne, ni à un continuum æ — const. où à un continuum y — const.

Nous le montrerons aisément en anticipant sur une notion qui sera exposée plus loin, celle des intégrales doubles de première espèce (Chap. VIT), c’est-à-dire des intégrales doubles restant toujours finies. Soit une telle intégrale

de O(x; y, <) dx dy J:

où Q(x,7,3) est un polynome arbitraire de degré m — 4, si la

surface de degré m, représentée par l’équation J(&,7,:) =, n’a aucune singularité.

Nous allons voir que la surface a certainement des cycles à deux dimensions pour lesquels l'intégrale (K) a une valeur différente de zéro; il en résultera nécessairement qu’il y a certainement des cycles à deux dimensions, qui ne sont pas susceptibles de se réduire à une ligne ou à un point ni à un continuum æ — const. ou à un continuum y — const. el, par suite, P>2 sera supérieur à trois.

Comme nous l'avons déjà dit, le nombre des cycles d’une surface algébrique de degré m, n'ayant aucune singularité, ne change pas si certains paramètres varient, d'une manière continue, dans l'équation de la surface, celle-ci restant toujours sans points singuliers. Il suffira donc de prendre un cas très particulier; nous

prendrons la surface C7) mm + yM EH 3m EI,

et soit considérée l’intégrale double de première espèce

2 Bz 2 FIEEEE, a+B+y£Sm—i.

znm—1

110 CHAPITRE IV. — SINGULARITÉS D'UNE SURFACE ALGÉBRIQUE. On peut représenter la surface précédente par les équations DT, = Vi ere

NDLR cn SEANCES 7 TE 1 —æm Vi LAUCN

et l'intégrale double devient

2% dr tB dt :

il 1h Ca an) ET (Yi mprit

Or, soient un contour dans le plan de la variable æ ramenant

la valeur initiale de V1 — x”, et un contour dans le plan de la va-

riable £ ramenant la valeur initiale de V1 — 4%; à l’ensemble de ces deux contours correspond une surface cyclique de la surface (f), et la valeur correspondante de l'intégrale double, qui se présente sous la forme d’un produit de deux périodes relatives à des intégrales abéliennes ordinaires, est, pour des choix convenables des contours, différente de zéro. Nous sommes donc assuré que l’on a, pour la surface (f),

et les considérations précédentes pourraient même conduire à la valeur de p: pour la surface la plus générale de degré m.

28. Ainsi, une surface algébrique arbitraire possède des cycles effectifs à deux dimensions, tandis qu’elle ne possède pas de cycles linéaires ne se réduisant pas à zéro. En y réfléchissant, on en voit facilement une raison générale si l’on se reporte à l’équauon linéaire E; c’est la présence des singularités de la surface qui rend possibles certaines relations particulières dans les substituuons du groupe de cette équation, tandis que la présence de singularités ne peut, au contraire, que diminuer le nombre des subsututions susceptibles de correspondre à un cycle à deux dimensions telles que nous les avons envisagées au n° 26. Nous pouvons donc énoncer la conclusion suivante, étrange au premier abord : la présence des singularités dans une surface tend à diminuer le nombre des cycles à deux dimensions, tandis qu’elle peut faire naître des cycles linéaires.