I. — Généralités sur les intégrales de première espèce

1. Nous allons maintenant commencer l’étude des intégrales de différentielles totales attachées à une surface (1) f(æ; ÿ,3)= 0.

Nous entendons par là des expressions de la forme

(29,5) (2) P dx +Q dy, (Los Yos 30) où P et Q sont des fonctions rationnelles de +, y et z ; on suppose remplie la condition d’intégrabilité, en tenant compte, bien entendu, de ce que z est la fonction de x et y définie par l’équation (1).

L'idée d’une classification de ces intégrales, analogue à celle des intégrales abéliennes relatives à une courbe algébrique, vient naturellement à l'esprit. Les intégrales de première espèce sont tout d’abord à considérer ; la définition se présente d’elle-même : ce sont les intégrales qui restent finies pour tout point de la surface. Il est nécessaire toutefois de préciser cette définition, car il peut y avoir quelque difficulté à entendre ce que signifie la valeur de l'intégrale en un point singulier de la surface. Soit (a, b, c) un point d’ailleurs quelconque de la surface ; il ÿ a une infinité de fonctions x, y, = d’une variable £,

(3) Bd AC) 0 — 0 (t), 3=Cc+y(t),

(*) E. Picarn, Sur les intégrales de différentielles totales algébriques de première espèce (Comptes rendus, 1884, et Journal de Mathématiques, 1885).

holomorphes dans le voisinage de £ — 0, se réduisant respectivement à &, b,c pour é— 0, et satisfaisant identiquement à la relation (1). On peut, par exemple, se donner arbitrairement les deux fonctions holomorphes À(£) et (#) sous la seule condition A(o)}= u(o)—0o; en substituant ces valeurs dans (1), on aura

une relation entre z et #, d’où l’on tirera pour z un ou plusieurs

développements, suivant les puissances de Ge 0 étant un enter convenable). Il suffira de poser 4 —#/* pour avoir x, y, « sous forme de série holomorphe par rapport à un paramètre qui est ici L'. On peut regarder les équations (3) comme définissant sur la surface, au voisinage de à, b, c, une certaine courbe passant par ce point ; substituons les expressions (3) dans l’intégrale (2),

froa

et supposons que FO ne se réduise pas à zéro identiquement.

Ayant donc pris une courbe (3) satisfaisant à toutes les conditions indiquées, mais par ailleurs complètement arbitraire, nous dirons avec toute précision que l'intégrale (2) est de première espèce st la fonction F(t), nécessairement méromorphe dans le voisinage det —o, est holomorphe autour de ce point.

En particulier, si l’on fait y = yo, yo étant une constante arbi-

elle deviendra

traire, l'intégrale (2) devient JPG 0 s)de:

c’est une intégrale abélienne relative à la courbe J(&, Yo z)= Oo.

Cette intégrale devra être évidemment une intégrale de première espèce pour cette courbe.

On peut donner une seconde définition des intégrales de première espèce qui se formule d'une manière plus rapide. Reportons-nous, à cet effet, à la surface S, sans singularités, de l’espace à cinq dimensions à laquelle correspond uniformément la surface ‘e En chaque point de S, l'intégrale de première espèce doit avoir

une valeur finie bien déterminée et nous n'avons ici besoin de fournir aucune explication supplémentaire, puisque S n’a pas de points singuliers.

2. La définition d’une intégrale de première espèce étant bien comprise, nous envisageons une surface f ayant une telle intégrale. Celle-ci devra avoir un certain nombre de périodes correspondant nécessairement à certains cycles linéaires de la surface ; toutes ces périodes ne peuvent être nulles, car ce sont aussi des périodes d’une intégrale abélienne de première espèce relatives à la courbe f(x, Yo, =) — 0. Or, on sait qu'une intégrale abélienne de première espèce a au moins deux périodes distinctes. La surface aura donc au moins deux cycles linéaires distincts et ne se réduisant pas à un cycle nul; on a, par suite,

Pi

P: étant le nombre exprimant l’ordre de la connexion linéaire de la surface.

Nous pouvons déjà déduire de là une conséquence importante. Puisque, en général, on a pour une surface p, —1, nous sommes assuré qu'une surface n'a pas, en général, d’intégrale de différentielle totale de première espèce.

Un problème se pose alors immédiatement, celui de reconnaître si une surface a des intégrales de différentielles totales de première espèce ; c’est cette recherche que nous allons entreprendre.