Soit donnée une relation algébrique de degré m IG Ne
définissant une fonction algébrique z de x et y et considérons la différentielle totale
P dr + Q dy
TS
où P, Q, M sont des polynomes en #, y et z, et pour laquelle la condition d'intégrabilité est supposée satisfaite. Effectuons sur +, y, z une transformation homographique quel- PATES 8
conque , , dx + biy'+ 3 + di
ax'+by'+ cz + d
Gaz + DaY'+ C2 + ds TT ar toy +cs td
am + by + c3z'+ ds, ax'+by'+cz'+d ?
la relation précédente F deviendra GA =
Différentions x et y, on aura
A dr'+B dy L? A, dr'+ B; dy’ AD de dy = TA 0z'
(ax +by'+cs + d) (az'+ by +es+d}
, = ! Ad, 55 à À et À, étant des polynomes en x’, y', 5’ de degré m — 1 par rapportàz/et z/, et de degré m par rapport à x', y/, z/; de même B et B, sont des polynomes de degré 57 — 1 en y'et z', et de degré m par rapport à x', y’, 3. C’est ce qu’on voit de suite en se servant
de la relation 2f
Te
Of n CJ 2 YO
OR OP AUECE
où 4’ est une variable d’homogénéité.
Si maintenant »' est le degré de P et Q, et x celui de M, on
aura Es (P De Q'’ M M(az+by+cs+d)n" M M(az + by'+cz + dy»?
P' et Q/ étant de degré n/, et M’ de degré n. IL s'ensuit que l’expression différentielle prend la forme, en supprimant les accents, P; dx Se Q: dy Mij:(æ, De z)
En désignant par y: le degré de M, par rapport à x, y et s, le polynome P, est de degré p + m —3 par rapport à x et z, et de degré y + m — 2 par rapport à æ, y et z. Pareillement pour Q,,
e degré par rapport à y et z est + m Se 3, el du + m — 2 par raportà x, y ets.
On peut supposer que le polynome M, ne renferme que æet y, ar, élant donnés les deux polynomes M,(x, y, s)et f(x, y, 2) remiers entre eux, on peut trouver deux polynomes et y, tels
que AM + vf = R(x, y),
à ne dépendant que de x et y. Par conséquent, en multipliant var À le numérateur et le dénominateur de l'expression différenielle, on aura une expression de même forme, sauf que M, ne dévendra que de æ et y.
La différentielle totale étant mise sous cette forme, envisageons
naintenant l'intégrale P; dx + Q: dy
: M, jf; À
eL supposons que celle intégrale soit de première espèce.
Nous pouvons évidemment admettre que l'équation IG; y, 2)=0 renferme un terme en z”*. Si, laissant y constant, nous faisons seulement varier æ, nous aurons une intégrale de première espèce P; dx Mif:
pour la courbe f(æ, Fan 0:
P; Il est nécessaire, pour cela, que M. puisse se mettre sous la
forme — par la suppression d’un facteur commmun ; ; pour une
raison ne È£ doit pouvoir se mettre sous forme TEL et l’in-
tégrale a, par an la forme
fe dx Q: Cyae, EN VS:
cette intégrale peut s’écrire, conformément à la théorie élémentaire des intégrales de différentielles totales
f *P, dx en FO:(æ0; 7: 3) PO) Ji Yao)J,, fit, 5)
dy.
Chacune des intégrales qui figurent dans cette expression es une intégrale abélienne de première espèce, la première intégral pour la courbe f(z, V) z) — o entre x et z, la seconde pour |: courbe /(xo, y,z)— 0 entre y et z. On voit immédiatement que si le polynome (y) ne se réduit pas à une constante, l’expression ci-dessus pourra devenir infinie ; pareillement Ÿ(x) doit sc réduire à une constante, et l'intégrale étudiée peut finalement se
FX:
P est un polynome de degré m— 2 en x, y et z, et de degré m— 3enæetz; pareillement Q est un polynome de degré m — 2 en æ, y’et z, et de degré m —3en yet.
mettre sous la forme
4. Nous n’avons pas jusqu'ici écrit la condition d’intégrabilité que nous avons maintenant à approfondir. On doit avoir
sr) &($)
en considérant 3 comme fonction de x et y. Cette relation déve-
loppée devient JP "1 oP 1 1 71 1 771 f A fi POSE af) Q) ! P1e] f ! //À } À 1/2 !
(Rs he jf + OGESTE Ji Oo.
Le premier membre de cette égalité est un polynome en x, y et 3; il n'est pas nécessairement nul identiquement, mais seulement en vertu de l'équation
On reconnaît facilement que l’on peut écrire la condition d’in-
tégrabilité sous la forme
0Q oP 0x 0y
; ” Os &) xl DEP QD FPS Qf= 0
te. M ntéer s étudi Or, si, dans l’intégrale que nous étudions, nous prenons x et z pour variables au lieu de x et y, nous devons tomber sur une
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE PREMIÈRE ESPÈCE. lily
expression de même forme. Effectuant ce changement de variables, l'intégrale devient
Pfi—Qfz :
il est donc nécessaire que l'expression
Pfr—Q fx J:
puisse, en vertu de f — 0, se mettre sous la forme d’un polynome en x, y, 3. Posons donc
Pfy—Qfz
F7 = R(x, y; 2), Fi (æ, 2)
R étant de degré m — 3 par rapport à x et y et de degré m— 2 en x, y et z, ou, en écrivant cette même équation sous forme d'identité, indépendamment de l'équation f = 0,
N étant aussi un polynome, cette dernière relation ayant lieu quels que soient æ, y, z. Ceci posé, revenons à l’équation (4) qui pourra s’écrire
dQ 9P 0R
Rs ï D 0
Cette relation doit être vérifiée pour tous Les points de la surface f, c’est-à-dire que le polynome
0Q oP oR = ——+—+N 0x OY Oz est divisible par f. Mais P, Q, RetN sont des polynomes de degré nférieur à »m. Si donc f est irréductible, comme nous le supposons évidemment, la relation V]e] oP oR
6) Le
aura lieu, quels que soient x, y et z.
Posons
les identités (d) et (6) se résumeront dans l'identité unique
0) Be TS Ë oA ist à 0 rs a dy 9z AURA
identité en x, y et =, qui joue un rôle essentiel dans la théorie des intégrales de différentielles totales de première espèce.
5. Nous pouvons approfondir davantage la forme des polynomes À, B, C. Ceux-ci sont nécessairement de la forme
A—x@(r,7,z)+ Aix, ÿ,2),
B= yY(x, ei Bi(x, y,2),
C=zy(r, Pa al, 2), , Ÿ, y étant des polynomes homogènes en x, y, z de degré m—3; quant à À,, B,, GC, ce sont des polynomes de degré m—3. Or,
considérons l'intégrale [- dx — A dy, e Ve
el posons y — ux, étant une constante : nous aurons l'intégrale abélienne de première espèce
