CHAPITRE I. — DES INTÉGRALES MULTIPLES, ETC

. , ; 5 indices, mais elles changent de signe quand on passe de l’une à l’autre par wne transposilion. On aura donc en particulier

Arr — Ayu= + Ari.

Cela posé, si l’on suppose que la variété à 3 dimensions, sur laquelle on intègre, est définie par les équations

DL) (euro do

l'intégrale triple J (18) sera, par définition, l'intégrale triple ordi-

AD. no … GED du ds dsw,

Q 7 Dee CE x 0 éiendue, s’il s’agit d’une variété à frontière, à tout le domaine

naire

o(u, p, w)<[0, limité par une surface o(u, 6, æ) = o dans l’espace (u, #, æ).

On trouvera les conditions nécessaires pour que cette intégrale ne dépende que de la frontière de la variété d'intégration, en ne considérant d’abord comme variables que quatre des lettres x, soient Z;, Æx, Æi, Xm. On est alors dans le cas d’une intégrale d'ordre » — 1 dans un espace à # dimensions (nr — 4). Les conditions d'intégrabilité nécessaires sont donc

dA ir OA rm OA pri PTE 1 OLn CERNT 0% ZT,

et le nombre de ces conditions est égal au nombre des combinaisons de z lettres quatre à quatre.

Pour démontrer qu’elles sont suffisantes, on procédera ensuite comme dans le cas des intégrales multiples d'ordre deux.

I. — Généralités sur les variétés à un nombre quelconque de dimensions.

1. Nous allons nous occuper, dans cette Section, de diverses questions concernant la Géométrie de situation dans les espaces à un nombre quelconque de dimensions, questions dont l’ensemble est souvent désigné sous le nom d’Analysis situs. Gette théorie a été fondée par Riemann, qui lui a donné ce nom; dans ses études sur les fonctions abéliennes, le grand géomètre ne considère que les espaces à deux dimensions, mais 1l a ensuite généralisé ses recherches pour un nombre quelconque de dimensions, comme le montrent des Notes publiées après sa mort dans le Volume renfermant ses OEuvres complètes (t). Indépendamment de Riemann, Betti avait de son côté étudié les divers ordres de connexion dans les espaces à 2 dimensions, et publié un Mémoire fondamental sur ce sujet (2). Dans son Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables (*), M. Picard avait montré l'intérêt que présentent des considérations de ce genre dans l’étude des surfaces algébriques. Tout récemment, M. Poincaré () a repris d’une manière générale cette question de lAnalysis situs, et, après avoir complété et précisé les résultats obtenus par Betti, a appelé l’attention sur les différences considérables que présentent ces théories, suivant qu'il s’agit d’un espace à deux dimensions ou d’un espace à un plus grand nombre de dimensions.

1) Œuvres complètes de Riemann.

(ee)

(2?) Annali di Matematica, t. IV (1870-71).

(5) Journal de Mathématiques (1889).

(‘) Journal de l’École Polytechnique (1895).

9. Considérons un espace à 7 dimensions (@, Gosehe) Han) els dans cet espace, un espace Sanson Am dimensions ; un tel espace sera dit linéairement connexe si l'on peut joindre par une ligne continue, sans sortir de Sy», deux points de Ces espace. Au lieu d'employer l'expression d'espace, il nous arrivera souene d'employer le terme de variété, de mu liiplicité ou de continuum, voulant désigner par là un certain ensemble continu de points dépendant d’un nombre de paramètres égal à la dimension de cette variété ou de ce continuum.

Il peut arriver que la variété Sy» soit définie de diverses ma-

nières. On peut concevoir que l’on ait les rm égalités

Fi(21, æ, En)=r0, F:(æ1, Ze, Tn)= O0, DC Lo, .. HAN 0,

et un certain nombre d’inégalités

On suppose que les fonctions F et © sont des fonctions analytiques bien déterminées, et que les divers déterminants fonctionnels des F considérées comme fonctions de m des lettres x ne s’annulent jamais tous à la fois. Les égalités et inégalités précédentes, si elles peuvent être vérifiées pour certaines valeurs des +, définissent en général une multiplicité à r — m dimensions, qui sera linéairement connexe, ou se partagera en plusieurs variétés linéairement connexes. Nous supposerons qu'il n’y ait qu’une seule variété connexe, et nous aurons alors un espace Se:

3. Cette manière de définir un espace Sy m» n'est pas la plus générale, On peut définir un tel espace, au moins dans le voisinage d’un point par des équations de la forme

Ti = Yi (Ui, Us, ..., Un—m),

Tn = Yn(Ui, Us .. -) Un—m),

les Ÿ étant des fonctions bien déterminées des w, que, en nous réduisant aux espaces analytiques, nous pouvons supposer comme plus haut être des fonctions analytiques des &w dans un certain domaine. Nous avons alors une certaine portion de l’espace Sa-m; On peut ensuite faire l'extension analytique de cet espace, c'est-à-dire des fonctions 4, et le prolongement de la représentauon paramétrique nous donnera de proche en proche un prolongement de S, M». Il se peut que, dans chacune de ces représentaions ou dans quelques-unes d’entre elles, les paramètres ne puissent pas prendre toutes les valeurs du champ de convergence, mais satisfassent à une ou plusieurs inégalités

P;(ui, Us, 5 Wn-m) > O0.

4. La notion de frontière d’une multiplicité Sy » se pose d'elle-même; une frontière est une multiplicité d'ordre r — m—1 qui empêche la continuation de S;». Supposons d’abord que cette variété soit définie par les égalités et inégalités considérées au début du numéro précédent; s’il existe des valeurs des x formant une multiplicité d'ordre 7 — m—1, satisfaisant aux équations et inégalités