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relative à la courbe f(x, ax, 3)— 0. Il en résulte que B— Au est de degré m — 3 au plus en x et z ; donc l'expression

uæ[d(x, UT, z)— o(æ, HT, z)],

qui dans B— Au est du degré » — 2, devra être nulle, et l’on aura DT, LE, z)—v(æ, ut, 3)= 0,

quel que soit 4, ce qui revient à dire que WCE, FE) OUR, PE); En mettant l'intégrale sous la forme

— C dx + À ds J: ’

on démontrerait que y(&, y, 3)—= œ(x, y, z); par suite, les polynomes », 4, y sont identiques.

6. On peut donner une autre forme à la condition d’intégrabilité du n° 4; écrivons-la sous la forme

OA s 0B

mAf+mEf + mOfi= (+ Hoi = Je 2fr +Yfy+ sf: + Je).

Posons maintenant

”) À (in =mare( +)

0 0x 0z 0! 0B à m=mB—y (+ ,

dx dy n 03

de telle sorte que l'identité devienne

: Le of CL

(24) + Prat +0 0.

En se reportant aux expressions de À, B, C données au numéro précédent, on voit de suite que les 4 sont des polynomes de degré m — 3. On aura entre ces polynomes la relation suivante, qui résulte immédiatement de leurs expressions en À, B, C,

a 00: : 00 003 ; 00, (8) dx dy os ot

Telles sont les formes élégantes, (a) et (B), sous lesquelles peut se mettre la condition d’intégrabilité pour une intégrale de première espèce; on devra pouvoir trouver quatre polynomes d'ordre m — 3 satisfaisant aux conditions (4) et (f).

Nous avons démontré déjà que La surface la plus générale de degré m ne possède pas d’intégrale de première espèce, puisque Pi = 1. Nous pouvons le vérifier à un autre point de vue : je dis que f(æ, y, 3) étant le polynome général d'ordre m, on ne peut pas trouver quatre polynomes Ü de degré m — 3 vérifiant (a) et(f).

Considérons, en effet, les trois surfaces y D UE 0x É OP Elles n’ont pas de courbes communes, et elles ont en commun un nombre de points distincts égal à (m—1)?. Pour ces points, on à

= 0, De

mais le second facteur ne sera certainement pas nul, puisque alors la surface aurait des points doubles ; les points considérés apparuennent donc à la surface

0, — 0 ; par suite, les quatre surfaces 0) ie : Lie, “ES 010 CEA Che 03

ont en commun (m» — 1)? points distincts. Or cela est impossible, car, si nous considérons les deux surfaces de degré m —1

AU g y es, 0x 0y Uz

Op UT CN.

me A

les 4, f, y étant des constantes arbitraires, l’intersecuon de ces deux surfaces devrait rencontrer la surface 8, en (me — 1)? points. Il est d’ailleurs impossible que les deux surfaces précédentes aient une ligne commune avec la surface 4;, si les &, 6, y sont pris arbitrairement, car il faudrait alors qu’il y eût une ligne commune à

PER OL of

ed. 0 la surface aurait des points multiples Rpe : 6 d à l'intersection de cette ligne avec —0.

IT. — Discussion relative aux points singuliers.