LA

1. Nous venons de trouver les formes nécessaires des intégrales de différentielles totales restant toujours finies. Nous avons maintenant à rechercher si les intégrales remplissant les conditions

précédentes restent toujours finies. Supposons que la surface ne possède que les singularités ordinaires considérées au Chapitre IV (n° 8), c’est-à-dire une ligne double avec des plans tangents en général distincts et des points triples triplanaires qui sont, en même temps, des points wriples de la ligne double ; nous traiterons seulement, de plus, le cas des points doubles et des points mulüuples isolés. Les singularités considérées seront les plus générales de leur type; ainsi, il peut y avoir sur la courbe double un certain nombre de points-pince, c’est-à-dire de points où les plans tangents aux deux nappes de la surface sont confondus; mais nous pouvons supposer qu'ils sont généraux. Cherchons ce qu'il advient de l'intégrale AT Bar A dy

% Los Yo 70 Jz

quand (x,7,z) se déplace sur la surface.

Ne considérons d’abord que des points à distance finie. Si (æ,3,2z) n’est pas un point multiple de la surface, il n’y a aucune difficulté, car on voit que l'intégrale reste finie en employant l’une ou l’autre des trois formes de l’intégrale

fee B dr — A dy ERP Cart A az = C dy —B dz : J: Jy Ja Supposons, en second lieu, que (x,7,z) tende vers un point

double isolé (a, b, c) de la surface. On remarquera d’abord que

les surfaces A0; Bo; G=

passent par ce point. Si l’on différentie, en effet, l’identité fondamentale

ST SON ARE PROC en à dy = (

LIVE + + ge)! pe h successivement par rapport à æ, y et z, el qu'on fasse æ — 4, MD, C, o0aura

A(a,b,c)fh +EB(a boe)fas 4 0(a, bc) fes,

A(a, bc) fi5+ B(a, bc) fis + Ca, b, e)fie = 0, Alta D chi bla, bic) lie C(a; 0e) 0

Le point (a, b, c) n'étant pas un point biplanoire, le déterminant des dérivées secondes n’est pas nul et, par suite,

A(a,b,c)=B(a,b,c)=C(ab,c)=;

Posons, en supposant le point &, b, c à l’origine des coordonnées, Dies Hoi -l0eicUsON

l'intégrale peut s’écrire .

je (A — Cu) dz—Cz du ; 2[p2,e(u, ?, 1) + 208 (Us Pile: cl

Or, À et C sont divisibles par z quand ona posé x = us, y = 2. Nous aurons donc une expression de la forme

J GE Or À F3 / : 2 CAN DEA AU en) EEE

c’est une intégrale de différentielle totale pour la surface Y définie

par la relation entre w, ©, 3, PaQU, AI) 7 (UP) 20,

et l’on a à considérer les points de cette surface (w,#, 0) satisfaisant à Wa (U, D, 1) = 0.

Tous ces points sont pour E des points simples, et nous sommes, par suite, assuré que l'intégrale reste finie. On peut se demander st l'intégrale tend toujours vers la méme limite de quelque mantère que(x,y,z) se rapproche de zéro; il en est effectivement ainsi, car tout cycle infiniment petit donne une période nulle. En effet, au point double de la surface initiale correspond dans Ÿ la conique