DA(U

et un cycle infiniment petit correspond à un cycle de la surface de Riemann représentée par cette équation qui est de genre zéro; les cycles infiniment petits de la surface se réduisent done à zéro. On peut encore arriver autrement au même résultat en

remarquant que l'intégrale

É À dz — C;,z du U Po e(U, P, 1) + 3( )

est très petite si l'on intègre entre deux valeurs (36, &o, Po), (3, u,6), 3 et 3, étant très petits, et 3 restant petit sur la courbe d'intégration. Il en est bien ainsi si, sur cette courbe, on n’a pas

Ds o(U, ©, 1) 05

mais, dans le cas où il en serait autrement, on éviterait la difficulté en prenant une des autres formes de l'intégrale.

On étudierait de la même manière le cas d’un point singulier isolé général d’ordre p, où le cône des tangentes est irréductible. Pour que l'intégrale

Île Car A'dz u Jy

reste finie pour toute section plane, il faut évidemment que les surfaces

aient au point multiple d'ordre p un point multiple d'ordre p — 1. Nous admettons donc que les trois surfaces

À —0, Bo; C0

ont, au point multiple d'ordre p de la surface f, un point multiple d'ordre p — 1. L’équation de la surface étant alors de la forme

f(æ,Y, 3) = 9p(%,Y, 3) + Pp11(2,9,2)+...=0,

nous aurons, en posant encore

D — 1 PE; 7 A LA l'intégrale (A— Cu)dz—Csdz zpTes' £ \ z 4! ) ñ “ zP[o,,.(u,9,1) + 2 pue (u, 0,1) +...)

et, comme À — Cwet C3 sont divisibles par 377", nous sommes ramené à une intégrale de différentielle totale pour la surface définie par la relation entre 4, ?, 3

Op(U, 0,1) +3 Pp#i(U, 9,1) +...= 0,

et nous n'avons à considérer que des points simples de cette surface, si les points multiples de la courbe p(U,V,1) =0,

donnent | p+1 (4; ’,1) 0,

comme nous devons le supposer, si le point multiple n’est pas

spécial.

8. Étudions maintenant la valeur de l'intégrale quand (x,y,3) se rapproche d’un point de la courbe double de la surface. Il faudra nécessairement, pour que l'intégrale reste finie, que les

surfaces A = O, B = O, GC 10

passent par la courbe double. Nous adjoindrons donc ces conditions, et nous allons montrer que l'intégrale reste alors finie.

Ün premier cas, très simple, est celui où l’on considère un point de la courbe double pour lequel les deux plans tangents sont distincts. Soient x,, y1, z, les coordonnées d’un tel point P de la courbe double; par ce point passent deux nappes de la surface. ayant, par hypothèse, deux plans tangents différents. Supposons que (x,7,z) tende vers P en restant sur une certaine nappe; le plan Langent à cette nappe en P n’est pas parallèle, nous pouvons le supposer, à l’axe des 3. Pour la première nappe, on aura, dans le voisinage de (æ,,71, 31),

32— = Q(r—r)+b(Y—yi)+e(r—%,Y —Yi),

o ne renfermant que des termes de degré supérieur au premier. Pour l’autre nappe, on aura pareillement

3—%= 04 (T—%)+b(y—-yi)+4(r— ri, y

Feb} et l’on n’a pas à la fois