DC, BIDE

FAUNE ” 4 L'équation de la surface pourra évidemment se meltre sous la forme

C1 (Ge T1) d'(y Yi) YIXEF,

F ayant une valeur finie et différente de zéro pour æ —x,,y =,

= 1. On en conclut que, pour tout point (+,y,s) de la première nappe, On à

Jia,73)=f(a—a)(z—m)+(6—8)(y—r)+p—4IxF.

L'équation de la projection de la courbe double sur le plan des (æ, y) est

et l’on n’a pas à la fois a — a'— 0, b— b'—0; soit par exemple b— b'< 0. On pourra tirer de l'équation précédente

Po Pi Er),

P étant une série, sans terme constant, ordonnée suivant les puissances de x — x,. Ceci posé, si

Ar co

représente une surface passant par la courbe double, on pourra écrire pour les points de la première nappe

AC eIE ACL — T1, Y — Ya),

et cette foncuon holomorphe en x — x, et y —7, sera identiquement nulle, quand on remplacera y — y, par P(æ —x,). On aura donc

A(z,7,2)=[7—-71i—P(x—-m)l{i(r —2y —yi).

D'autre part, d’après ce qui a été dit plus haut, f2,7,2)= FX [y —yi—P(&—x)],

F, ne s’annulant pas pour æ = x, y =, 3: = %,. Donc le quo-

tuent AZ, V3 2) COM

Jz

tendra vers une valeur finie déterminée différente de zéro quand Là 1 (x, y, 3) tendra vers P, en étant sur l’une ou l’autre nappe de la

: , RTS surface. Il est manifeste alors que l'intégrale

ju B dx — À dy

0» Yo» <o J2 tend vers une valeur finie déterminée quand (x, y,z) tend vers

(CAEN ATET le

L'analyse précédente n’est plus applicable quand (x,,71, 51) est un point-pince de la surface. Nous ne diminuerons pas la généralité en supposant que la courbe double est l'axe des #, le point-pince étant l’origine avec le plan des zx comme plan tangent double; l'équation de la surface est alors

[axm+fy+yz+...Ja+fax+fy+yz...]xy +[a+ax+f'y + "2 +...]72=0.

On a nécessairement a >< 0, et pour un point-pince non spécial, nous devons supposer y = 0.

Posons y — ux, nous aurons, entre w, x et z, l'équation

| [(a+Bu)æ EysE... JAI Eur + pre. lu l +[a+(a"+ Pfu)æ + ÿ"s+...]u? =o,

(25) et l’intégrale devient

é) de (B—Au)dx — Ax du :

; dy +. ++. Ju+(ÿ+...jæw]

À contient æ en facteur quand on pose y == wx, puisque la surface AT 2 00

passe par l’axe des z. D'autre part quand, dans B — Au, on remplace z par le développement holomorphe en x et u, tré de l'équation (Z') entre z, x et w, on devra avoir æ? en rs en effet, pour une valeur constante suffisamment petite donnée à u, on a une section de la surface par le plan y — vx, et cette section passe par le point

? VE; 3 — Zo,

Zo élant [a racine voisine de ztro de l'équation (£) quand on laut x = 0. L'intégrale

4 (B— Au) dx PAYS CEE Ou]

doit, pour cette section, rester finie quand + tend vers zéro. Par conséquent, B — A doit contenir +? en facteur. Il résulte de là que l'intégrale de différentielle totale (4) reste finie quand x, 3, u tendent vers zéro en satisfaisant à l'équation (£').

9. Supposons maintenant que (æ,y,3) tende vers un point triple de la courbe double. Nous ne diminuons pas la généralité en supposant que la courbe double se compose des axes des æ des y et des 3, le point triple étant l’origine. Nous avons alors l'équation

et chacun des cônes oi(æ,y,3) = 0 admet comme lignes doubles les axes de coordonnées; ainsi on a

D(T,Y,2) =axyz + Bry?z + yryzt+ Ôdy22+ € 52224 n v2y2.

Posons

nous avons la relation entre w, 6, z (5) UP OL (LD) — 0.

Supposons d’abord que w et 6 ne tendent pas tous les deux vers zéro; soit # tendant vers #, différent de zéro, et w tendant vers zéro. Le point u—=0, ÿ = #5, 3 —=0 sera un point simple pour la surface définie par l'équation précédente entre w, 6 et z, et, en prenant l'intégrale sous la forme

LES Ne re, Jz

on voit immédiatement, en se rappelant que ÀÂ=o, B—o, C—o ont pour point double te /poRmL = 0C, pro, 5 0, puisque ces surfaces passent par les trois axes, que l'intégrale reste finie dans le voisinage du point simple u = 0,6 —#6,,5=0 de la surface Y.

Le même raisonnement n’est plus applicable quand w et 6 tendent vers zéro simultanément. On remarque alors que la droite

est une ligne double pour la surface Y, Au point u—0, 6 —0, z — o de cette surface les plans tangents sont = 0, — 0; l’intégrale peut s’écrire Cz dp + (Ce — B)dz z2[ 0 + z( )]

Or, Get Ce —B sont divisibles par 3 quand on a remplacé x et y par us et #2; nous retombons donc sur une intégrale de différentielle totale relative à une surface pour un point (non pince) de la courbe double. Elle restera finie si les deux poly-

nomes

s’annulent pour w—0o, #—0; il en est bien ainsi puisque les deux surfaces C— 0, B— 0 passent par l’axe des z, c'est-à-dire sont de la forme Mx+Ny,M et N étant des polynomes en x, 3 3. Ainsi, nous sommes assuré que l’intégrale restera finie

pour le point triple.

10. Il reste à étudier l'intégrale quand les variables deviennent infinies. Nous allons, dans ce but, transformer l'intégrale en nous servant des coordonnées homogènes. Remplaçons donc x, y, z

+? el rappelons-nous que nous avons trouvé