III. — Quelques applications des généralités précédentes

11. Nous avons achevé, en nous bornant, comme il suffit, aux singularités les plus simples, la discussion des intégrales de première espèce. Étudions maintenant quelques cas particuliers, et citons d’abord des surfaces étendues, admettant des intégrales de première espèce.

Soient

o(a, B)=0, Y(x, 89 —=0o les équations de deux courbes de genres p et p' respectivement. Considérons une surface S définie par les équations

les F étant rationnels par rapport aux # et aux $; nous supposons

de plus qu’à un point arbitraire de la surface ne correspond

qu'un seul système de valeurs de (4, 6) et (a', fÿ). On aura ainsi (4

GARE 0 a), BP Ritr, #2).

R et R, étant rationnels en x, y et 3, et si

face 8) da

représente une intégrale de première espèce de la courbe +, cette intégrale deviendra, en remplaçant # et f par leurs valeurs, une

fr ar+Q ay.

PNErS: (

expression de la forme

où P et Q seront rationnels en æ, y et 3: ce sera une intégrale de différentielle totale de première espèce pour la surface AC aura ainsi p + p' intégrales de première espèce : elles sont linéairement indépendantes, mais deux intégrales de la première série sont fonctions l’une de l’autre, ainsi que deux intégrales de la seconde série. On voit aisément qu’il n’y a pas, pour la surface, d’autres intégrales de première espèce; une telle intégrale est, en

effet, nécessairement de la forme fue B, a!, B') da + N(a, B, a’, B') de’,

M et N étant rationnels. Or, pour une valeur constante donnée à (a, 81), l'expression

fu, B, a’, B') da

doit être une intégrale de première espèce de la courbe © ; donc Ma, $, «', ff’) est de la forme en A CCE Poe LAC) B), Je LÉ

les À dépendant rationnellement de (4/, 8’). Or, si les A dépen-

. D : ee dent effectivement de (4, $'), l'intégrale deviendra infinie pour un système de valeur de (2/, f") au moins, et, par suite, les A doivent être nécessairement des constantes. On verrait qu’il en est de même, en permutant (x, B) et(a', fl), pour l'expression de N, et finalement l’intégrale est une somme des intégrales précédemment indiquées, multipliées par des coefficients constants.

12. Faisons de suite une remarque générale sur les intégrales de différentielles totales de première espèce, dans le cas où la surface Jouirait de la propriété suivante. Je suppose qu'il y ait sur la surface une famille de courbes unicursales telles que, par chaque point de la surface, passe une courbe de cette pe Soit, dans ces conditions,

fraæ-+eQa

une intégrale de première espèce. Pour une courbe de la famille

indiquée æ, y, z s'expriment rationnellement en fonction d’un paramètre ; en substituant ces valeurs dans l'intégrale, on ne peut avoir une intégrale rationnelle qui soit de première espèce le résultat de la substitution ne peut être que zéro ou l’énfini. Or, P et Q ne deviennent infinis que le long de courbes isolées de la surface, tandis que nous considérons ici une famille d’unicursales dépendant d’un paramètre arbitraire. On aura donc, pour toute courbe de cette famille,

P dx +Q dy = 0.

Par suite, {a famille d’unicursales représentera l'intégrale générale de cette équation différentielle ordinaire du premier ordre entre x et y.

Il résulte de là que, si la surface a une seconde intégrale de première espèce

[ride + Qi dy,

cette intégrale sera fonction de la première; en effet, l’équation

différentielle Pidr + Q;idy =o

ayant la même intégrale générale que l'équation analogue relative à la première intégrale, on aura nécessairement, pour tout point

de la surface.

PQi— P1Q =o,

ce qui montre bien que les deux intégrales sont fonctions l’une de l’autre.

On obtient un exemple de surfaces jouissant de la propriété indiquée en supposant, au numéro précédent, que le genre p' de la courbe Ÿ est nul; nous avons alors des surfaces définies par les équations

= F(a, 8,0), vite, p.00) ox 0) —'0, = Y:{(x, 8,07

et cela de telle manière qu’à un point arbitraire (æ,7,2z) de la surface corresponde un seul système de valeurs pour (4, 6) et (. Pour 4— const., on aura une famille d’unicursales, et les inté-

grales de première espèce

fre 8) da

jouissent bien de la propriélé qui vient d’être établie.

13. Les surfaces unicursales, c’est-à-dire les surfaces pour lesquelles les coordonnées s'expriment en fonctions rationnelles de deux paramètres, n’ont évidemment pas d’intégrales de différentielles totales de première espèce. Par suite, les surfaces du second degré et les surfaces du troisième degré élant unicursales, à l’exception des cônes du troisième degré, n’auront pas de telles intégrales. Au contraire, une surface du quatrième degré peut avoir une intégrale de première espèce. Prenons la surface du quatrième degré de révolution autour de l'axe des z

(ai+ PP+ (a+ y?) fat) + fi(e) = 0,

f2 et fi étant des polynomes en 3 du second et du quatrième degré. Cette surface admet, en général, une intégrale de première

espèce; considérons, en eflet, la courbe entre wet z u?+ ufa(3) + fi(s) = 0.

Si f2et /, sont des polynomes arbitraires des degrés indiqués, cette courbe sera du genre un. Soit

FR u, z) du

son intégrale de première espèce; en remplaçant w par æ?+ y?, on aura une intégrale de première espèce relative à la surface de révolution.

Cette surface n’aura pas une seconde intégrale de première espèce; 1l y a, en effet, sur la surface une famille de cercles dépendant d’un paramètre arbitraire ; ce sont les courbes w — const. S1 donc, l'intégrale

fe dx + Q dy J

représente une intégrale de première espèce, il faut que pour tous ces cercles, qui sont des courbes unicursales, on ait, d’après

INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE PREMIÈRE ESPÈCE. 133 le numéro précédent,

P dr + Q dy — 0.

Par suite, l'élément différentiel doit être de la forme

P dx + Q dy = X du,

À étant une fonction rationnelle de +, y et 3. Or A(x,y,=) peut être regardée comme une fonction de w, 3 et x, u et æ élant les deux variables indépendantes, et 3 étant une fonction de w.

Puisque Alu, & tv) au

est une différentielle totale exacte, c’est que À ne contient pas x; donc la fonction rationnelle À de x, y, = ne doit dépendre que de w et =, et nous retombons sur l'intégrale obtenue.

Citons d’autres surfaces du quatrième ordre admettant une intégrale de première espèce; ce sont les surfaces du quatrième ordre ayant deux droites doubles ne se rencontrant pas. Soit le tétraèdre de référence