ST

correspond qu’un système de valeur de x, z,

lo ( o(z). La surface

admet donc l'intégrale de première espèce

Va)

14. Il est aisé de trouver toutes les surfaces du quatrième degré admettant une intégrale de première espèce. La question revient à la discussion d’un système très simple d'équations différentielles ; on doit avoir quatre polynomes 6,, 0,, 0,, 0, du premier degré

bi = aœ + by + «3 + dit, 0 = 2x + b27 + c:3 + dit, 03 = a3œ + by + c33 + dit, d = a, + by + c,z + dit,

tels, que l’on ait identiquement

of. of of

T 0 0e —— 8 9z Nor de

avee la condition Ai +— Do C3 + dy, = 0,

Pour trouver la forme générale des fonctions f satisfaisant à la

première de ces relations, il suffit de trouver trois intégrales distinctes.

Or il résulte d’une théorie classique qu’on peut obtenir des intégrales de la forme Ph: Rk Shs

LDLC Q Q Q

P, Q,R,S désignant quatre polynomes du premier degré, homo-

gènes en x, y, 3, £ et les À étant les racines de l’équation

Aa À bi Ci d, eE] D — À Co da = O, 3 D; EX d; | a by C4 , =2=1)\

et il résulte de la relation a; + b, + c3 + d; = 0 que l’on doit avoir Ne oO:

C’est seulement quand les quatre racines sont distinctes que l’on est assuré d’avoir trois solutions distinctes de la forme indiquée. Quand les racines ne sont pas toutes distinctes, on pourrait avoir des logarithmes dans les expressions d’une au moins des intégrales ; mais ceci ne nous conduirait pas à des surfaces algébriques. Nous devons donc supposer qu’il ne s’introduit pas de logarithmes; de plus, les quatre polynomes P, Q, R, S doivent être linéairement indépendants, sans quoi nous aurions une surface conique, ce que nous excluons. On peut par conséquent poser

Pr, OO RES St

nous avons alors les solutions

rh zh 2 PA 2

ph ph s LA n

et, par suite, notre polynome du quatrième degré f(x, y,3, t) doit être de la forme SES DE

; œ fer s0=4 (Te Pr Si l’on prend Ai 1, el, Às— 0, 10:

on aura l'expression o(zy.s,t},

. . PE f et, si l’on veut que celle-ci soit un polynome du quatrième degré, ce polynome sera nécessairement

ay2+ æy(Az+Bzt+Ci?)+ A'zi+ B's36 + C'zte2+ D'sis + K'éi : nous retombons sur les surfaces de révolution, qui se déduisent: de cette forme en remplaçant æ et y respectivement par Z +1y

etæ—1y.

Faisons en second lieu

Ài=1T, =, Ne À

& mm M

ce qui nous conduit à l'expression

(Ds 17) 2

si elle représente un polynome du quatrième degré, il sera nécessairement de la forme

— (Pzy?+ Qzsyiy+Re2y2)

+ #97 QYPE RME) EEE eye ES

D | ES e

ce qui nous ramène à la forme

a(Pz+Qzt+Re)+oxy(P'32+Q'zt+R'#)+y2(P"32+Q"z+R'),

el, par suite, aux surfaces du quatrième degré avec deux droites doubles.

Une discussion un peu minutieuse, que nous ne ferons pas ici, montre qu'il n’y a pas, en dehors des cônes, d’autres surfaces ayant une intégrale de première espèce que les deux surfaces trouvées plus haut et, bien entendu, toutes leurs transformées homographiques. Ce résultat a été énoncé sans démonstration par M. Poincaré, dans une Note des Comptes rendus (t. XCIX ).

15. Nous ferons maintenant quelques remarques relatives au cas où une surface de degré m

Je,» 2)= "0

possède plusieurs intégrales de première espèce, qui ne soient pas fonctions les unes des autres: À, B, Cet À,, B;, C, étant les

polynomes correspondants, nous aurons les deux identités

OU Re 0B dC\

dx 0Y . ds < \ dx 0y a 03 ) f(æ: J"; 3), a7 Of Op OA: 0B, . OC:

2 0œ bi: dy Me” ( Ôæ ji 0Y x Ôg ) fans).

Nous supposons que les deux intégrales