DO MARNE

pi 0, 970 (1=2,...,q),

la multiplicité définie par ces équations et inégalités sera une frontière de Sy m; dans le cas actuel, il pourra y avoir q frontières en associant successivement aux m équations chacune des inégalités transformée en égalité.

Avec la définition générale des variétés résultant du prolongement analytique d’une représentation paramétrique, une frontière est formée par l’ensemble des points correspondant à une des inégalités relatives aux paramètres, cette inégalité étant transformée en égalité. Ainsi, soit, pour une certaine représentation,

OP ER 07, Un-m)> 0

une des inégalités auxquelles doivent satisfaire les paramètres ;

on suppose que, dans le domaine, la fonction + soit susceptible de

s’annuler en changeant de signe. La relation

PT ee Mr) =®

définira une certaine portion d’une frontière dans Île domaine correspondant à la relation paramétrique envisagée, et celle ie tion de frontière se prolongera analytiquement avec ce domaine.

Il peut arriver qu'une multiplicité n'ait pas de frontière. Pour le moment au moins, nous ne considérerons que des multiplicités S,, restant tout entières à distance finie; une telle multiplicité, quand elle n'aura pas de frontière, peut être dite une multiplicité fermée.

Dans toutes ces définitions, nous ne faisons qu’étendre à un nombre quelconque de dimensions des notions familières dans l’espace à deux et trois dimensions. Une variété à deux dimensions dans l’espace à trois dimensions est ce que l’on appelle une surface; les frontières de celles-ci sont des courbes, et une surface restant out entière à distance finie et n'ayant pas de fronère est une surface fermée.

9. Il peut arriver que des multiplicités analytiques se coupent elles-mêmes, et qu’elles se recouvrent totalement elles-mêmes. Pour bien faire comprendre ce que nous entendons par là, prenons une surface analytique dans l’espace à trois dimensions (n— 3, m—2). Une portion de surface qui a une ligne double se coupe elle-même. Un exemple bien connu d’une surface se recouvrant elle-même est fourni par un rectangle de papier abcd que l’on replie sur lui-même de la facon suivante : Soient ab et cd deux côtés parallèles, de telle sorte que à et d, ainsi quetbietic, désignent des sommets opposés. On contourne la feuille de papier de manière que ab vienne coïncider avec de, en faisant coïncider par conséquent les sommets opposés. On réalise ainsi une surface limitée par une seule frontière et qui se recouvre totalement ellemême.

Les circonstances que nous venons de rencontrer sont générales ; il peut arriver qu’une variété S,» se recouvre totalement

elle-même; appelons variété double une telle variété (!). Pour définir d’une manière générale une variété de celte nature, considérons dans le voisinage d’un point A, que nous ne supposons pas Sur une frontière, une représentation paramétrique ; on pourra évidemment de cette représentation déduire, entre les coordonnées (Ti, &o,..., &n) d’un point quelconque de la variété suffisamment voisin de À, m relations de la forme

Fi(æ1, de, Th 0, Eee an) 0) PRE TR er matt :

m(æi T2, ,Tn)= 0, les F étant holomorphes autour des coordonnées æŸ, ..., x?

de A. Envisageons d'autre part n — m —1 formes quadratiques

homogènes en æ,— x, ..., æy — définies et linéairement

indépendantes ; nous les supposerons positives et les désignerons

per

AE te Da) ee GE dr mm AIT M NET).

Ceci posé, aux » équations ci-dessus, adjoignons les ? — m—1 équations

RAI Le, 2e Dr); (t=1,2,..., nn —m—1),

les <; étant des quantités positives très petites. Nous avons maintenant 7 — 1 équations qui définiront évidemment une petite courbe fermée C autour du point À, courbe située dans l’espace Sy m. Sur cette courbe, on peut concevoir tracé un certain sens de flèche bien défini.

Imaginons maintenant que le point À se déplace sur S, »; en nous servant des prolongements successifs des représentations paramétriques et des équations auxiliaires À;— &;, ou æ},...., x sont chaque fois à remplacer par les coordonnées actuelles de À, nous pouvons considérer que le point À, pendant son mouvement, entraîne avec lui la courbe fermée C qui se déforme en même temps, mais pour laquelle le sens de flèche marqué au début est

(‘) M. Poincaré appelle variété unilatère, les variétés de ce genre; comparer la définition qu’il donne de ces variétés (Mémoire cité) avee celle que nous donnons dans le texte.

toujours défini sans ambiguïté. Deux circonstances peuvent alors se présenter. | |

En premier lieu, il peut arriver que À, revenant à son pos de départ après avoir suivi Sur Sy m, Sans traverser une frontières un chemin fermé quelconque, la courbe C au retour vienne se replacer sur sa position initiale, es deux sens de flèche coïnctdant. Dans ce cas, la variété est simple; elle ne se recouvre pas elle-même.

Il peut arriver au contraire, en second lieu, que, pour certains chemins fermés décrits par À, on ne retrouve pas au retour le même sens de flèche pour la courbe C; nous aurons alors une variété double.

6. Au point de vue analytique, on voit qu'à un sens défini sur la courbe C, correspondent des signes déterminés pour les coefficients différentiels

dx; Che z dTh C4 , CNE) . , RENE 1 ds ds ds Posons 0(F:,F Fi", F> Re) } ) \ o( 192... Li, Lips ess Lys Ms eee s An—m—1 : MERE SC PE nn 0 0e) on à (41 LE) An I A1 A2 Ân HEVARE VIRE

En choisissant le signe + pour le radical, on a pour les 4; des valeurs déterminées en grandeur et en signe. D'ailleurs A,, A», ..., A, sont des fonctions linéaires des déterminants fonctionnels des F considérées comme fonctions de m des lettres +, et leurs coefficients qui ne dépendent que de AS RL 207 e0merne traires. Si donc la surface est simple, ces déterminants fonctionnels devront reprendre la même valeur en grandeur et en signe quand, partant d’un point À sur la variété S,», on y revient après avoir parcouru un chemin fermé quelconque sur cette variété.

On pourrait encore présenter la question de la manière suivante : Considérons dans l’espace E, une demi-droite passant par

le point A Soit AP A PRES paramètres, de sorte que ses

équations sont de la forme

nous la supposons assujettie à la condition À di + A: dr, +...+ À, dtn = 0,

dx, dx», ... dx, étant un élément linéaire de la variété S,». Entre les A, existent m équations linéaires homogènes dont les coefficients sont les différents déterminants fonctionnels des F par rapport à m7 des lettres x. On peut choisir arbitrairement m des A;, et les autres seront déterminées en fonction des coordonnées du point A. La conclusion est la même que précédemment. Si la surface est simple, quand A reviendra à son point de départ après avoir suivi sur S»» un Chemin fermé quelconque, la demidroite devra se replacer sur sa position initiale sans que son sens ait changé, et les déterminants fonctionnels reprendront la même valeur en grandeur et en signe.

Pour le cas d’une surface double, dans l’espace à trois dimensions, On voit immédiatement que les considérations précédentes prennent une forme très simple. La courbe C sera, si l’on veut, l’intersection de la surface avec une petite sphère de centre A. La droite, considérée en second lieu, est la normale à la surface au point À, sur laquelle on peut, à partir de ce point, distinguer deux demi-droites. Un observateur placé sur une de ces demidroites, les pieds en À, voit la flèche tracée sur GC tourner dans un certain sens. Quand le point A se déplace, le sens de rotation reste évidemment toujours le même, et deux cas peuvent se présenter quand À revient à son point de départ : la demi-normale” revient toujours à sa position initiale, c’est le cas des surfaces simples; ou bien, par un chemin convenable, elle coïncide au retour avec la demi-normale opposée, et la surface est alors une surface double.

Le point de vue auquel nous venons de nous placer en dernier lieu peut d’ailleurs être généralisé pour une variété d'ordre x — 1 dans un espace d’ordre ». On peut, comme au Chap. [, n°6, définir la normale à la variété S,, et, sur cette normale, considérer deux demi-directions ; l’espace S,, est simple si, partant d’une demi-

normale déterminée en À, on revient toujours au même point avec la même direction de normale; elle sera double dans le cas con-

traire.

7. Faisons encore quelques remarques. Toute variété V, définie comme au n° 2, c’est-à-dire par un certain nombre d’égahités et d’inégalités, est toujours simple. Cela résulte de ce que les différents déterminants fonctionnels sont en chaque point déterminés en grandeur et en signe, pourvu qu’on ne change pas l’ordre dans lequel sont écrites les équations.

Toute variété fermée V d'ordre r — 1, dans l’espace général (di, Æs, ..., dn) à r dimensions, est toujours une variété simple. Tout d'abord, cétte variété partagera l’espace en deux parties non connexes; il en est évidemment ainsi si » — 2, et il suffira, par suite, de faire voir que l’on peut passer de » — 1 à n. Or, en faisant

Ty —= (Be

nous découpons dans V une certaine variété fermée à n — 2 dimensions. L'espace à na — 1 dimensions (x,,...,æ,), en donnant à æ, la valeur C, est alors partagé en deux parties non connexes; et, en faisant varier C, l’espace S, se trouve partagé par V en deux parties telles que l’on ne peut aller de l’une à l’autre sans traverser V.

Toute courbe à une dimension est simple.

Il est entendu expressément que toutes les variétés constdérées par la suite sont des variétés simples. On pourrait d’ailleurs montrer que toute variété double est la limite d’une variété simple dont les éléments, convenablement associés, sont venus deux à deux se confondre. C’est ainsi qu’on se représente aisément la variété simple dont la limite est la variété double, rappelée plus haut, obtenue avec un rectangle; au lieu d'opérer avec un rectangle, 1l suffirait d'opérer avec un cylindre elliptique très aplati.

8. Considérons, dans un espace à un nombre quelconque de dimensions, une variété E, à » dimensions, et soit V une variété fermée d'ordre m contenue dans E,. Sauf le cas où m— n — a On pourra par celle variété faire passer une infinité de variétés à m +1 dimensions entièrement contenues dans E,. Parmi ces

variétés, il en existe toujours sur lesquelles V ne forme pas frontière. C’est ainsi que, par une ligne fermée plongée dans une variété à trois dimensions, on peut toujours imaginer une surface du genre tore passant par cette ligne dont les dimensions méridiennes soient assez petites pour qu'elle soit entièrement contenue dans E;. Mais la circonstance inverse pourra ne pas se présenter, c’est-à-dire qu'il pourra ne pas exister de variété Sh,, passant par V, contenue dans E,, sur laquelle V forme frontière. Dans ce cas, cette variété ne pourra pas, par une déformation continue, se réduire à une variété d'ordre moindre, et nous dirons qu'elle ne forme pas frontière sur E,. Elle formera, au contraire, frontière sur E, s’il existe une variété Sms contenue dans E, et sur laquelle elle forme frontière.

Si, au lieu d’une seule variété d’ordre m contenue dans E,, nous considérons un ensemble de plusieurs variétés, soient

VA VS ne NV)

qui, prises séparément, ne forment pas frontière ; les mêmes remarques peuvent être faites. Nous dirons que ce groupe de variétés forme ou ne forme pas frontière sur E, suivant qu’on pourra ou ne pourra pas trouver une variété fermée S»,, contenue dans E, et sur laquelle ces variétés prises ensemble forment frontière.

D'après la définition même des variétés formant frontière, on voit que si un groupe de variétés V d'ordre m, qui peuvent d’ailleurs se réduire à une, forme frontière sur une variété S,,, d'ordre m + 1, toute courbe fermée, tracée dans cette variété, devra les couper en un nombre pair de points, et que réciproquement, si elles ne forment pas frontière, on pourra imaginer une courbe fermée les coupant en un seul point.

9. Adjoignons maintenant à une variété sémple Sn à m dimensions la courbe C dont nous avons précisément fait usage dans le n° 5 pour définir ce genre de variété. Si, après avoir fixé un sens sur cette courbe, on prend le sens contraire, on distinguera la variété S,, prise avec un certain sens de la variété Sm prise avec le sens contraire en disant que ce sont deux variétés opposées ou de sens contraire. C’est ainsi que dans l’espace à trois dimensions on distingue deux côtés différents sur une surface.

Si deux variétés simples fermées Sm et. S, forment frontière sur une variété Smy4, On pourra, après avoir attribué un sens à Sy». déformer cette variété d’une manière continue de manière que l’une de ses parties vienne à coïncider avec une partie de S On pourra ainsi fixer le sens qui devra être attribué à cette seconde variété, lequel devra être opposé au premier, en sorte que les éléments linéaires qui viennent à se superposer se détruisent. On comprend ainsi qu’on puisse dire que, si les variétés S, et S,, forment frontière sur S,»41, la variété S,, et la variété opposée à

S’, ne forment pas frontière.

10. Donnons encore une définition. Par variété voisine de S», nous entendons une variété dont les équations et inégalités de définition diffèrent infiniment peu de celles qui sont relatives à Sn. D’après ce que nous venons de dire, une variété Sn et une variété voisine opposée à S, forment la frontière d’une variété Sm41 très petite et qu'on peut réduire à zéro. Dans ce qui suit, nous considérerons comme identiquement nul l’ensemble de deux variétés voisines opposées, et quand nous parlerons de Æ variétés très voisines d’une variété S,, nous sous-entendrons toujours que ces variétés sont de même sens, ou que k est l’excès du nombre des variétés prises dans un sens sur le nombre des variétés prises en sens contraire.

II. — Des différents ordres de connexion dans les espaces à n dimensions.

11. Ces préliminaires étant posés, nous pouvons définir d’une manière générale les nombres qui représentent les ordres de con- 22 ; PRE x 1: : 5 nexion d’une variété E, à n dimensions par rapport aux variétés

Ts : :

Sn d'ordre moindre qui y sont contenues. Nous désignerons ces

nombres sous le nom de nombres de Riemann et de Betti. Supposons que dans la variété E, on puisse trouver Pm—1

variétés fermées S,, d'ordre mn, soient

Vi, V», *….., \ Pl

Jouissant des propriètés suivantes : prises séparément, elles ne

forment pas frontière, et, par une déformation continue, elles ne peuvent se réduire l’une à l’autre; de plus par Æ£, variétés voisines de V;, par £2 variétés voisines de V,, ..., par Kpm-1 Variétés Voisines de V,,-1, on ne peut pas faire passer une variété S complètement contenue dans E,, dont ces k, + ko +. ..+ 519) variétés formeraient une frontière complète, et cela quels que soient les entiers ki, ko, ..., K,,-1. Par Æ variétés voisines de V, il est d’ailleurs bien entendu qu'il s’agit de # variétés de même sens.

MH

Cela étant, nous dirons que l’ordre de connexion de E,, par rapport aux variélés à 22 dimensions contenues dans cette variété, est Pm Si, ayant trouvé les p» —1 variétés précédentes dont l’ensemble ne forme pas une frontière complète dans le sens général que nous venons de définir, on peut toujours, en leur adjoignant une pe variété fermée quelconque d’ordre m, soit V, contenue dans E,, déterminer les entiers Æ de manière que l’ensemble formé par cette variété seule, et par À, variétés voisines de V,, par À» variétés voisines de V,, ..., par Er variétés voisines de V,,,-1, forme une frontière complète. Les entiers Æ peuvent d’ailleurs être nuls, ce qui voudra dire que la variété V prise isolément forme frontière.

12. Cette définition est justifiée par le lemme suivant : Si, dans une variété E,, un système À, conjointement avec un autre sysième C, composés tous deux de variétés fermées à » dimensions, forme une frontière complète, et si un autre système B de variétés fermées à »m dimensions forme avec C une frontière complète, on peut affirmer que l’ensemble des variétés non communes à À et B forme une frontière complète dans E,, c’est-à-dire qu'il existe une variélé d’ordre m+1 contenue dans E, sur laquelle cet ensemble forme frontière.

Soient Sy et O,,,1 deux variétés à M +1 dimensions contenues dans E, sur lesquelles A et C d’une part, Bet Cd’autre part, forment

respectivement frontière. Joignons un point de S»4, à un point de S'

m+1 suffisamment petite se déplaçant le long de cette ligne; elle engen-

par une ligne continue et envisageons une variété d'ordre rm

drera une variété d’ordre m7 +1, qui réunira d’une manière con-

tinue les deux variétés Sms, D, de manière à en former une

m+1 71 sur laquelle À et C d’une part, B et C d’autre part,

seule 0,2)

formeront frontière. La démonstration est alors immédiate; toute

, r s C7 ’ SPRUT.

courbe fermée appartenant à S/,,, coupera l’ensemble des variétés

non communes à À et B en un nombre pair de points, ce qui suffit à établir le lemme énoncé.

Dans le cas où les variétés du système C ne concourratent pas toutes à former la frontière des systèmes À, C, et B, C, il faudrait adjoindre aux variétés non communes à A et B, celles des variétés C qui ne sont pas communes aux frontières formées par

les systèmes À, C et B, C.

143. Nous allons conclure de là que si { variétés fermées à m dimensions À,, A, ..., A, ne peuvent pas former seules, mais forment avec toute autre variété fermée à » dimensions une frontière dans E,, et si un autre système de £/ variétés fermées à m dimensions B,, B;, ..., B,, jouit de la même propriété, on aura nécessairement { — {//.

Soit V une variété fermée quelconque à m7 dimensions; désignons par le symbole ÆA, l’ensemble de Æ variétés voisines de A : on peut déterminer Îles entiers Æ de manière que l’ensemble formé par la variété V et par les variétés £, A,, Æ:A:, ..., KA, forme frontière. Remarquons d’abord que les entiers Æ sont bien déterminés, car, autrement comme la variété V et la variété opposée à V prises ensemble forment frontière, on en conclurait qu'on pourrait former avec les À seuls une frontière complète. D'autre part, on peut, par hypothèse, déterminer les entiers Æ de manière que chacun des {’ ensembles

ki Ai, ÆË A», 0e JRUX,. B; (ta) forme frontière, et déterminer les entiers À de manière que l’ensemble D D a D 0e forme frontière. Or, on peut substituer à };B; l’ensemble AA A1 MA Aa te ee DS

On voit de suite que cela exige qu’on ait entre les entiers Æ eu À les t'équations

4! Se À: 4? SES Mode A4 kt == ka,

A4! ne À 42 Sn oc À4rkh —= k2,

1 10 = A2 K? ee ee À4kŸ — Un

d'où l’on conclut, puisque la variété V est arbitraire, l'inégalité l'£t. On verrait de même, en partant des B, que 4£4'. On en conclut que £ est égal à 4. Nous voyons donc que le nombre p», qui figure dans la définition donnée ci-dessus, ne dépend pas du choix particulier du système des variétés d'ordre » envisagées. Comme conséquence des théorèmes précédents, nous pouvons dire d’une manière générale que si V,, Vs, ..., V,,, désignent p» variétés fermées, dans une variété E, dont l’ordre de connexion par rapport aux variétés à » dimensions estP», On pourra trouver Pm nombres entiers k,, #2, ..., k,, tels que l’ensemble formé par lestanetes AVI, A Vs, A Ve forme frontière.

14. Indiquons quelques exemples qui feront bien comprendre les définitions générales que nous venons de donner. Le cas le plus simple que l’on puisse citer est celui d’une variété à deux dimensions dans l’espace à deux dimensions ; on a alors un espace plan limité par un certain nombre de courbes, une courbe extérieure Cet des courbes intérieures C,, CG, ..., GC: 1l est clair que que l’on peut tracer dans cet espace p courbes fermées ne formant pas la limite complète d’une variété à deux dimensions entièrement comprise dans l’espace considéré : il suffit de tracer p courbes l,, l:, ..., l, autour des courbes C,,..., C, respectivement. Au contraire, toute autre courbe fermée, soit seule, soit avec toutes les courbes F ou quelques-unes d’entre elles, limitera un espace à deux dimensions entièrement contenu dans notre espace. On aura donc

Pr Pe

L'ordre de connexion sera done ici p +1.

Prenons maintenant le cas d’une surface E, et, pour plus de simplicité, supposons-la placée dans l’espace à trois dimensions; considérons d’ailleurs seulement le cas où cette surface est fermée. On sait le rôle que jouent les surfaces fermées dans la théorie des fonctions algébriques d'une variable; supposons que la surface envisagée ait p trous. Quel sera le nombre p, correspondant à la connexité pour » —1? On pourra tracer 2p courbes, une à travers chaque trou et une autour de chaque trou, qui ne limiteront aucune portion de la surface, mais toute autre courbe fermée,

soit seule, soit avec les 2p courbes précédentes ou une partie d’entre elles, limitera une portion de la surface. On aura donc

Ph PE

L'ordre de connexion sera donc 2p + 1.

Passons à des variétés E3. L'espace compris entre deux sphères dans l’espace à trois dimensions formera une variété E3; nous avons maintenant deux nombres p, et p». On peut avoir une surface ne limitant aucune portion de E,, mais wne seulement, et,

par suite P2—1=i1, c’est-à-dire Da 2:

Pour le nombre p,, on aura Pi—1=0,

car, pour toute courbe fermée de notre espace, on peut faire passer une variété à deux dimensions, c’est-à-dire une surface, dont la courbe soit la limite complète.

Je considère encore la variété E; formée par les points à l'intérieur d’un tore. Toute surface fermée dans cet espace en limite une partie, car cette surface est ou une surface fermée comme une sphère, ou une surface fermée comme un tore s’emboîtant dans le premier, donc ps —1. On peut, au contraire, tracer une courbe qui ne pourra être la frontière complète d’une surface contenue dans E,, par exemple la circonférence lieu des centres des méridiens, mais toute autre courbe fermée, soit seule, soit avec cellelà formera la limite complète d’une variété à deux dimensions; par SUAIE Di 2.

On verra enfin facilement que, pour la variété E, comprise entre deux tores, on a

15. Un point a pu étonner dans les définitions générales du n° 11, c’est l'introduction de k variétés voisines d’une variété V. Cette introduction est nécessaire, car autrement on ne pourrait pas toujours faire passer, par ph — 1 variétés fermées V et par une Pme variété fermée arbitraire, un continuum à m +1 dimensions salisfaisant aux conditions voulues, Pren l'intérieur d’un tore, pour lequel/p} =" ;"et ee

D vons à l’inté-

rieur du tore une courbe fermée l qui tournerait deux fois autour de l’axe du tore; toute autre courbe fermée C à l’intérieur du tore s’enroulant une fois autour de l’axe forme avec T la limite complète d’une variété à deux dimensions, entièrement contenue dans le tore; mais pour que ceci soit exact, il faut entendre cette phrase sous la forme généralisée du n° 10, c'est-à-dire qu’il y aura une surface ayant pour limite complète l et deux courbes (ici k — 2) voisines de la courbe C.

Soit une courbe T qui s’enroule deux fois, sans former nœud, autour de XY. On peut imaginer, passant par cette courbe, un

tore creux d’axe XY ayant un trou À, ou plus exactement deux tores intérieurs l’un à l’autre, dans la surface de chacun desquels on a découpé un trou dont les contours sont reliés respectivement par une surface cylindrique. La courbe l, en s’enroulant deux fois, passe de l’intérieur à l’extérieur de cette surface par le trou A, sans se couper. Celte courbe seule ne forme pas frontière. Il faut lui adjoindre deux courbes telles que C, et C> tournant chacune une fois autour de l’axe du tore, et dont l’une est extérieure et l’autre intérieure. On peut supposer ces deux courbes très voisines, et, pour former frontière avec l, elles doivent être parcourues dans le même sens. Si on les suppose opposées, c’està-dire parcourues en sens contraire, il faut imaginer, passant par ces deux courbes, une surface fermée du genre sphère ou du genre tore sur laquelle elles découperont une sorte de tronc de cône.

Le cas plus compliqué où la courbe s’enroule deux fois en

Pers: 3

ei A eg 2 A formant nœud autour d’un certain axe peut être traité de la même

manière.

Nous prendrons la même surface que précédemment, formée des surfaces de deux tores intérieurs, mais nous les supposerons percés de trois trous À, B, C dont les contours sont reliés par une surface cylindrique. La figure montre suffisamment comment est disposée la courbe T sur cette surface, et les conclusions sont les mêmes.

Comme dernier exemple, considérons encore deux courbes à l’intérieur d’un tore, ces deux courbes se traversant l’une l’autre.

On pourra faire passer par ces deux courbes une sorte de tore Y (surface à un trou) entièrement contenu dans le tore initial, et ces deux courbes limiteront sur Ÿ une portion de surface.

IG. Revenons maintenant à l’étude générale des connexions. La considération des intégrales va nous conduire à envisager sous

un nouveau point de vue toute cette théorie. Supposons que la variété E, soit située dans l’espace général à p dimensions (per), où nous désignons les coordonnées d’un point par (x,æ», ..., æp), de sorte que pour la variété E, il y a p — n relations entre les æ. Dans l’espace général à p dimensions, considérons une inté- $ ) grale simple

() IDXTZ

où les X sont des fonctions des quantités réelles æ,, æ, ..., 0e, restant uniformes et continues quand le point (æ1, æ, ..., æp) se déplace dans E, ; on suppose que les conditions d’intégrabilité sont vérifiées quand on regarde æ»41,..., æN Comme fonctions de Lys Lay -..) ne On à ainsi une intégrale de différentielle totale dans la variété E,. Nous ne considérons que des courbes situées dans cette variété. Le long d’une courbe fermée, l'intégrale précédente aura, en général, une valeur différente de zéro s1 la courbe ne peut se réduire à un point par une déformation continue. Si l’on considère Pi

courbes fermées ne pouvant former la frontière complète d’une variété à deux dimensions contenue dans E,, il arrivera, en général (pour une intégrale arbitrairement choisie) que les valeurs de l'intégrale suivant ces courbes ne seront pas liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers. Au contraire, si nous prenons p, courbes fermées, il existera une variété à deux dimensions qui aura ces courbes pour frontière complète. Par suite, en désignant par yÿ1, ÿ», --., Yp, les valeurs de l'intégrale suivant ces courbes, on aura

kti+ kayr+. + ApiYp, = 0,

les Æ étant des entiers positifs ou négatifs. On voit alors la signification nouvelle que prend le nombre p, —1 ; on peut dire qu'il représente le nombre des périodes distinctes de l’intégrale (1), en entendant par périodes de cette intégrale sa valeur sur une courbe fermée. Des périodes distinctes sont, bien entendu, des périodes qui ne sont pas liées par une relation homogène et

linéaire à coefficients entiers, et il va de soi que l'intégrale (1) considérée n’est pas une intégrale particulière mais une intégrale arbitrairement choisie sous les conditions indiquées.

Ces considérations se généralisent facilement après ce que nous avons vu dans la Section précédente sur les intégrales multiples dans les espaces à un nombre quelconque de dimensions. Envisa-

geons une intégrale multiple d'ordre ”,

(2) J- . DRTE dre, da. C0 dLun,

Où di, Los <., am désignent »# des nombres 1,2, ..., n. Quant aux X, ce sont des fonctions de æ,, æ», ..., æ); elles restent uniformes et continues quand le point (x,, ..., æ}) se déplace dans la variété E,. On suppose que les conditions d’intégrabilité relatives à cette intégrale multiple d'ordre mn sont vérifiées, quand on regarde Œny1, +, &p Comme fonctions de æ,, ..., &7. On a ainsi une intégrale multiple d'ordre m dans l’espace E,, intégrale dont la valeur ne change pas quand on la prend suivant une variété fermée d'ordre m, qu'on déforme d’une manière continue sans sortir de E,. Si l’on considère

Pm—TI

variétés fermées à m dimensions, ne pouvant former la frontière complète d’une variété à m + 1 dimensions contenue dans el arrivera, en général, que les valeurs de l'intégrale prises sur ces variétés ne seront pas liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers. Au contraire, si nous prenons ph variétés fermées, il existera une variété à m + 1 dimensions qui aura ces variétés pour frontière complète. Par suite, en désignant par