AG + B

À et B étant eux-mêmes des polynomes. Il en a déduit en particulier un théorème

donnant une condition suffisante pour que f puisse se mettre sous la forme indiquée. Considérons les deux courbes

et prenons un quelconque de leurs points de rencontre, que nous désignerons par M; soient p et qg les degrés respectifs de multiplicité de ce point pour les deux courbes, et supposons de plus que ce point compte pour pq points de rencontre (cas général). Dans ces conditions, si la courbe

F(æ, y)=0 a le point M comme point multiple d'ordre p + 4 — 1, On aura certainement

f(x, y)= A +By.

un polynome en x, Vs S: et nous pouvons par suite écrire AB; — A,B = f: QE y, 2),

Q étant un polynome. Le degré de ce polynome sera m— 4; on voit en effet, en se reportant aux formes de À, B, C, que les polynomes figurant dans les premiers membres de la relation précédente sont de degré 2m — 5.

La surface d’ordre m2 — 4

est extrêmement intéressante ; nous rencontrons ICI pour la première fois, dans un cas particulier, une de ces surfaces d'ordre m — 4, que nous allons bientôt étudier d’une manière générale, et qui sont dites adjointes à la surface proposée. La surface Q passe par les lignes doubles de la surface, puisque les A et les B s’annulent pour les points de ces lignes doubles. Les surfaces A et B ayant pour points doubles un point triple de la courbe double, il est manifeste que la surface Q aura un tel point pour point double.

16. Ces remarques faites, cherchons si une surface du quatrième degré peut avoir deux intégrales de seconde espèce qui ne soient pas fonctions l’une de l’autre. Nous allons voir de suite que la chose est impossible. D'après ce que nous venons de dire, on a

AB AB 0/70, BC; — CB; — Q f:= 0, CAi— AC; —Qf; =0.

Q, qui est d’ordre m — 4,se réduira ici à une constante différente de zéro, puisque, par hypothèse, les deux intégrales ne sont pas fonctions l’une de l’autre. Ces relations ne sont, en général, satisfaites que pour les points de la surface; mais, dans le cas actuel, ce seront des identités, puisque le premier membre de chacune d'elles est un polynome de degré inférieur à 4. On a donc l’idenüté

A PROPOS CHA y4 03

quels que soient +, y, 3. Par suite, on a cette autre identité en +,

Dore

— + ee, 0x 0Y 03

Reportons-nous maintenant aux conditions, mises sous forme homogène, pour que la surface ait une intégrale de première espèce. On a