HA
ds FA à
et Ü, a pour expression
OA 0B me.) 0 — += ; 0 dy dz on aura par conséquent 0, — 0; mais 0, est en définitive un quel-
conque des polynomes À, et nous arrivons ainsi à cette conclusion
absurde (= ik = = 5.
L'hypothèse faite était donc inadmissible : une surface du quatrième degré ne peut avoir deux intégrales de première espèce qui ne soient pas fonctions l’une de l’autre.
17. La même conclusion va s'étendre à une classe très étendue de surfaces du cinquième degré. Considérons une surface du cinquième degré ayant deux intégrales de seconde espèce quine sont pas foncuons l’une de l’autre.
On aura, d'après ce qui a été dit précédemment,
AB;—BA;=Qfi+vf(x,y,2), (1) BG = CB = 0 AS y, 2), CA AG OPEL. re)
Q étant un polynome du premier degré, et À, d, Y représentant trois constantes, De ces trois identités, en tenant compte des identités fondamentales
of of of {dA dB dC\ “er 07 03 0x dy 02 JFG 7,2),
0j of of 9A 0B oC:
Ai ER ee ON (+ = f(x, 11127
on déduit
ON 0B oQ [Q(s SE RU r }- aa +uB +vC —o,
QT — de me) + A+ pBi+vC=o.
Les constantes }, 4, y sont reliées très simplement au polynome Q. Posons, comme nous devons le faire,
A=æo(x,y,z)+ L(r,y,2), A=Tp(2,9, 2) + Liz), B=ye(x,y,z)+M(x,y,z), Bi=zv(r;, y, :) Mix, 7,2),
GC — so(T,ÿ,s)+ N(zx, y, 3 ), G— = Li(T,Y, z)+ Ni (CASA
et admettons d’abord que + et v, ne soient pas identiquement Pa MENT re < = RES A nee : :
nuls : soit © £ 0. Dans la première des équations (2), en posant
Q=!x+my+ns+p,
les termes du degré le plus élevé seront
ox [5({x+my+nz)+ zx +uy +vs]:
on en conclut 2Q 2Q 2Q
dx
La même conclusion subsiste si # et v, sont identiquement nuls. Considérons, en effet, dans ce cas, les relations (1); les premiers membres seront du quatrième degré, et l’on aura, par suite, en désignant par Ÿ(x,y, z) les termes homogènes du cinquième
degré dans f,
({x+ my +nz)ti + vb = 0, ({x+ my+nz)t,+ À =o, ({x+my+nz)};+pb=0o; d'où l’on déduit 5(1x+my+ns)=—(Àz+uy+vs),
et la conclusion subsiste.
Nous pouvons admettre, en faisant un changement d’axes, que Q se réduise à z. Les équations (1) se réduisent alors à
EX 5 f(2,Y: 3),
AB: — BA; = 2j (3) POTACPR EE CA1 AG:
et les équations (2) deviennent (H+9 +7) SG or Che 03
: \ 3 LE oB: +- 52) HO 0.
Nous avons pour A, B, C et A,, B,, OC les expressions indiquées plus haut. En les introduisant dans ces dernières équations, il vient
ge oM a ; Bf—+<— +— }—5N —=0, CA
oL oM ON:
Z ! = = Fe 4 ON — 0; LOT y 0z Si donc nous posons L = ayz? + 13 + &, M = b5z?+ bi 3 + b:,
où les a et b sont des polynomes en x et y, de degré marqué par
l'indice, on aura
s ll da: db; \ = I 0 ; CLEA .
N= (Se ta ae : (SE FA A
et de même, en posant
Li=a;2+ ais +a;, Mi = 06 22 + d' 3 + b:,
1l viendra
1 / da 0b; … NES (Ce nm
Soit en outre O(T,Y, 2)= Co2? + C3 + Cs,
D1(%, V, Z)= Cr + cs EC,
où les c sont des polynomes homogènes en x, y de degré marqué par l'indice.
Ceci dit, la première des équations (3) donne
