AB;— AB

Oz 36

Nous allons tirer de cette dernière équation la valeur de f à un terme près de la forme Cz° où C sera une constante, car elle ne peut être une fonction de x et y, puisque f doit être un poly-

nome du cinquième degré en +, y, 3; f étant ainsi déterminé, on devra avoir, d’après les deux autres équations (3),

ec, 0 NEC;

Ja

Introduisons maintenant une nouvelle hypothèse; nous supposons que la surface possède une ligne double ne se réduisant pas à une seule droite. La ligne double sera alors nécessairement une conique située dans le plan 3 —o, car la surface Q — o contient la ligne double; on ne peut avoir comme ligne double de la surface deux droites ne se rencontrant pas, car alors la surface serait unicursale.

Les surfaces À — 0, A, — 0, B — 0, B, — o doivent passer par cette conique, et nous pouvons mettre ses équations sous la

forme 3 =0, LH y+I1= 0,

si elle est indécomposable; on ferait un calcul analogue à celui que nous allons faire pour le cas où elle serait décomposable. Les polynomes

CT + Go, CoY +bs, Cx—+a,, c,y +b, doivent être divisibles par 4? + y?+ 1; soit donc

Gr rd=(ar + E)(riey2er),

| c29 + bi (ay + y) (a*+72+ 0),

Em LH

| c,r+a,=(ax+f$')(æ?+y?+ir), \oy+bi=(ey +v)(+p2+ 0),

les 4, 6, y étant des constantes; on peut urer de ces identités @»,

Décret. Ve, Ce:

Dans f(x, y, =) le terme indépendant de 3 sera

[(cax + a:)(c, y + bo)—(c27 + b2)(c,& + a; )]

(G) —2(at+yt+i) fear — ay) +7 (Bu Ba)+ By BI.

Cherchons d'autre part le terme indépendant de 3 dans