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144 CHAPITRE V. — INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES, ETC. ce sera ; A da: ob 1 RE 1l da; ob! , ne I 2 ve (CES 0)[ e: L / (S + TR) (CS pe b') GE Ge Sn dy ;

ou, en remplaçant les &>, b2, ©, par leurs valeurs tirées des iden-

tités (4),

ay")

Sera ; CPI EXCE An re RE

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Cette expression doit être la dérivée par rapport à x de l’expres-

sion (5); or, cela n’est possible que si

= ga B = Py—YE— 0.

Can

Dans ces conditions, l'expression (5) est nulle, et il en résulte que f(æ, y, 3) serait divisible par 3 et la surface serait, par suite, décomposable. Donc une surface de cinquième degré avec une conique double ne peut avoir deux intégrales de première espèce, qui ne soient pas fonctions l’une de l’autre. Nous étendrons plus tard cette proposition à toutes les surfaces du cinquième degré de genre un, quand nous aurons défini le genre d’une surface algébrique.

DES INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE SECONDE ESPÈCE ET DE TROISIÈME ESPÈCE (1).

I. — Généralités. Théorème fondamental sur le nombre des intégrales de seconde espèce.

1. Après l'étude des intégrales de première espèce, nous abordons l’étude des intégrales de seconde espèce. Nous dirons qu'une intégrale

(1) frar+Qdy L'(æ, 7, 2)= 0]

est une intégrale de seconde espèce, quand les conditions suivantes seront vérifiées. Prenons, comme nous l'avons fait pour les intégrales de première espèce, un point arbitraire (6, Yo; 0), et envisageons toutes les courbes passant par (#6, Yo; Z) sur la surface, et susceptibles d'être représentées, dans le voisinage du point, par les équations

(2) æ—=%+(t),, Y=Yo+ ut), 3 = 3+ V(t),

À, u, y étant holomorphes dans le voisinage de £ — o et s’annulant pour é — 0. On substitue ces valeurs dans l’expression (1), et l’on a une intégrale

(3) free

F(t) étant méromorphe autour de 4— 0; le point 4 — 0 ne devra

(*) E. Picarp, Sur les intégrales de d'fférentielles totales de seconde espèce (Journal de Mathématiques, 1886); Memoire sur les fonctions algébriques de deux variables indépendantes (ibid., 1889); Sur la théorie des surfaces algébriques au point de vue de la Géométrie de situation et sur les intégrales de différentielles totales (Comptes rendus, 15 mars 1897).

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pes être un point singulier logarithmique pour cette dernière intégrale. Si cette condition est remplie pour tous les points de la surface, et pour toutes les courbes de la nature indiquée sur la

surface, nous dirons que l’intégrale est une intégrale de seconde

6 CHAPITRE YI.

espèce.

Si l'intégrale (1) est de seconde espèce, l'intégrale prise le long de tout cycle susceptible de se réduire à un cycle nul, est égale à zéro; on suppose, bien entendu, que l'élément différentiel reste fini pour tout point du cycle considéré. La proposition est évidente pour un cycle très petit dans le voisinage d’un point simple de la surface f, car on pourra ramener le cycle à être plan tout en restant infiniment petit, et l’on aura alors un cycle infiniment petit sur une section plane de la surface ; comme l'intégrale (1) sera nécessairement alors une intégrale abélienne de seconde espèce pour cette section, l'intégrale cherchée sera certainement nulle. Pour démontrer le théorème dans toute sa généralité, ül suffit de se reporter à la surface S sans singularités, à laquelle nous avons fait correspondre la surface donnée f dans un espace à cinq dimensions. Pour tout cycle infiniment peut sur la surfaces, l'intégrale sera nulle; on peut, en effet, faire correspondre à un point À de la surface S un point simple d’une certaine surface Y dans un espace à trois dimensions, et nous sommes ramenés au cas qui vient d'être examiné. Si nous considérons alors sur S un cycle arbitraire susceptible de se ramener à zéro par une déformation continue, 1l pourra arriver, pendant cette déformation, que le cycle rencontre des points de S pour lesquels l'intégrale devienne infinie, mais l'intégrale ne change pas de valeur quand le cycle a traversé un tel point, car la différence de ces deux valeurs est égale à la valeur de l'intégrale le long d’un cycle infiniment peut, et, par conséquent, à zéro, d’après ce qui précède; le théorème est donc démontré.

La propriété qui vient d’être établie est caractéristique des intégrales de seconde espèce, et l’on peut la prendre comme définition de ces intégrales. Montrons que ces deux définitions sont équivalentes. Nous supposons donc l'intégrale telle que sa valeur soit nulle pour tout cycle susceptible de se ramener à un cycle nul. Si nous prenons d’abord un point simple de la surface (Zo; Vos So), On voit immédiatement que, æ, y, 3 étant exprimés

par les formules (2), l'intégrale (3) n'aura pas le point t— 0 comme point singulier logarithmique, car, dans le cas contraire, à une courbe infiniment petite autour du point £— 0, dans le plan de la variable £, correspondrait sur la surface un cycle infiniment petit autour du point simple #6, Yo, %0o, Cycle susceptible, par conséquent, de se réduire à zéro, et pour lequel l'intégrale ne serait pas nulle. La démonstration sera la même si (æ5, 6, 30) est un point multiple quelconque de la surface f; il suffit de recourir à la surface S. Les coordonnées des points de cette surface s’expriment rationnellement en fonction des coordonnées #, y, 3 d’un point de f; en substituant dans ces expressions les valeurs (2), les coordonnées d’un point de S deviennent des fonctions de t ayant une limite déterminée quand # tend vers zéro, et l’on a ainsi sur S un point limite A. Pour l’intégrale (3), le point é— 0 ne peut être un point singulier logarithmique, car autrement, un cycle infiniment petit correspondrait sur la surface à une petite courbe décrite autour de £ — 0, et à ce cycle infiniment petit correspondrait une valeur de l'intégrale différente de zéro. Mais ce cycle infiniment petit peut se réduire à zéro, puisqu'il lui correspond, sur la surface S, une courbe infiniment voisine du point A; il y aurait donc contradiction.

2. En se bornant aux singularités ordinaires de la surface, c’està-dire à des courbes doubles avec points triples, on peut définir plus rapidement les intégrales de seconde espèce. Dans une intégrale de différentielle totale, il peut y avoir des courbes le long desquelles l’intégrale devienne infinie. Soit C une de ces courbes et supposons qu’elle soit une courbe simple de la surface; je prends alors un cycle infiniment petit entourant cette courbe en un point arbitraire (on peut, par exemple, donner à y une valeur fixe et considérer dans le plan de la variable z un contour infiniment petit autour d’un pointde la courbe C, répondant à la valeur prise pour y); si l'intégrale le long de ce cycle est nulle, nous dirons que la courbe C est une courbe polaire. Une intégrale de seconde espèce ne possède que des courbes polaires.

Il a été supposé que la courbe C était une courbe simple de la surface. Le cas où elle serait une courbe double de la surface ne donne lieu à aucune difficulté; on peut de a même manière con-

sidérer un cycle infiniment peut entourantla courbe double dans le voisinage d’un de ses points. Un tel cycle doit donner une intégrale nulle.

On peut encore dire que l'intégrale de différentielle totale considérée est une intégrale de seconde espèce, au sens habituel de la théorie des courbes algébriques pour une section plane quelconque de la surface.

Si l'intégrale le long d'un contour infiniment peut, réductible à un cycle nul analogue à celui dont nous venons de parler, n’est pas nulle, cette courbe C sera dite une courbe logarithmique, et

l'intégrale sera de troistème espèce.

3. La première proposition, concernant les intégrales de différentielles totales de seconde espèce, consiste en ce qu’en général ces intégrales se réduisent à des fonctions rationnelles de x, y etz.

Soient, en effet, une surface pour laquelle p, = 1, et une intégrale de seconde espèce

P dr + Q dy.

(Lo5 Yos 20)

Cette intégrale n'aura qu'une seule valeur en un point arbitraire (x, y, 3) de la surface. En effet, tout cycle qui se ramène à un cycle nul donne, par hypothèse, la valeur zéro pour l'intégrale, et, comme 1l n’y a pas de cycle linéaire effectif, toutes les pé-

s k Je 7e : . : 4 riodes de l’intégrale sont nulles, et elle se réduit par suite à une fonction rationnelle de +, y et 3.

Nous devons alors nous poser la question suivante : Comment Pourra-t-on reconnaitre st une surface algébrique possède des intégrales de seconde espèce qui ne soient pas des fonctions rationnelles de x, y et 3, et comment pourra-t-on obtenir ces intégrales?

Nous dirons que des intégrales de seconde espèce sont distinctes quand aucune combinaison linéaire de ces intégrales ne se réduit à une fonction rationnelle de æ, y et z.