Avant de traiter ce problème, revenons aux considérations

développées dans le Chapitre IV, relativement au nombre p1. Nous avons trouvé une intégrale

JRaæ+s &.

U résulte immédiatement des propriétés établies que cette intégrale ne pourra avoir de courbes logarithmiques. Il est tout d’abord impossible que l’on ait une courbe logarithmique C qui ne soit pas de la forme : soit + — const., soit y — const.

En effet, l'intégrale

fs (x, Y; z) dx,

relative à la courbe f(x, y, z)— 0 aurait alors un ou plusieurs points singuliers logarithmiques aux points de rencontre de la courbe C avec le plan y — y.

D'autre part, il n’y a pas de courbe logarithmique de la nature indiquée plus haut, soit par exemple

T—X, car l'intégrale

fre Y,2)dx,

relative à la courbe f(x, y, z)— 0, aurait, pour y arbitraire, les points correspondant à æ — % comme points singuliers logarithmiques, ce qui est contraire au fait que, pour y arbitraire, l’intégrale précédente est de seconde espèce. Enfin, pour ce qui concerne les points à l'infini, la section de la surface par le plan de l'infini ne peut non plus être une courbe logarithmique, car la période logarithmique correspondante est égale à une période logarithmique pour le point à l’infini dans une section y — const.,

c'est-à-dire à zéro.

Il résulte de là que l’intégrale

(4) Jrar+sar

est une intégrale de seconde espèce, et, de là, nous allons conclure le théorème suivant déjà énoncé par avance à la fin du

Une surface, dont la connexion linéaire est ps , possède Pret intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce.

La démonstration est immédiate. Nous savons (Chapitre IV) qu'on peut prendre arbitrairement les 7 — p, —1 périodes de l'intégrale (4). Considérons une intégrale quelconque J de seconde espèce. Elle aura p, — 1 périodes (dont quelques-unes pourront être nulles); formons alors l'intégrale (4) ayant ces périodes et désignons-la par 1. La différence

sera une intégrale de seconde espèce n’ayant pas de période; ce sera par suite une fonction rationnelle de x, y et z. Le théorème est donc établi.