II. — Recherche des intégrales de seconde espèce

5. Nous arrivons maintenant à la recherche des intégrales de seconde espèce. Nous pouvons, en un certain sens, regarder ce problème comme déjà résolu; une solution, du moins, se déduit immédiatement des considérations développées dans la 3° Section du Chapitre IV et dans la première Section du présent Chapitre. Si, en effet, on a formé l'équation différentielle désignée par E, et si, ayant obtenu son groupe, on a formé le système des équations (x), on pourra obtenir les 7 intégrales distinctes de seconde espèce. Mais ce procédé, très bon pour établir les théorèmes généraux, est plutôt théorique, et des considérations différentes vont nous conduire à des calculs pratiques d’une nature tout élémentaire. Commençons par considérer une surface dont l’équaton est de la forme

J(æ, y) étant un polynome, et soit l'intégrale

Le dx + Q dy My/Cx, y)

forme à laquelle peut se ramener toute intégrale de seconde

espèce après suppression d’une fonction rationnelle de æ, y et =.

Les P M sont des polynomes en x et y, et l’on a la condition > P0:y 140

d’intégrabilité M oP 0Q oM1.

D a noce. 2,

en général M(x, y) sera le produit d’un certain nombre de facteurs

les polynomes A, B, ..., L étant irréductibles, et aucun d'eux, comme on peut le supposer en faisant préalablement sur x et y une substitution linéaire, n’est divisible par y.

Soit d’abord le cas le plus simple où

MAX, y):

la condition d'intégrabilité s’écrira

p% LR 2P LIeR A OA Man(rs-0)=vanfa(-s)rec es).

Supposons que A(x, y) soit premier avec f(x, y); on voit alors

que

est divisible par A(x, y).

Ceci posé, considérons l’intégrale

1 AG) de.

AUVTC, 7) en regardant y comme un paramètre. On peut, comme il est bien

connu, retrancher de P(x,7)

Aaÿf(æ, y)

une expression de la forme

da 1Vf(æ, y) dx AG -i ?

À étant un polynome en x, telle que la différence ne contienne

plus À au dénominateur qu’à la puissance à — 1. Le polynome À de æ aura ses coefficients qui seront des fractions rationnelles de y; nous pourrons l'écrire sous la forme A(æ, Sel o(y) A(æ, y) étant un polynome en x et y. On aura alors nécessaire-

ment .

AP re cm PA EG) À Ce, y),

PONT PCI) OA OA LA u(æ, 7) étant un polynome, et, comme Q — ne est divisible

par À, il en résultera une identité de la forme

Ve nCrrei Ve Mie Q +(a 1) oLY) LPS e(y) (æ, 7)

Retranchons maintenant de P dx + Q dy

Aÿf(x, y) la différentielle totale A ») VF, 2

PH) ABEE

la différence sera de la forme

P;dx + Qdy YONDAE 1 VF Ca, 7)

Nous avons ainsi diminué d’une unité le degré de À, et introduit seulement au dénominateur le polynome 4(y). Nous pourrons évidemment continuer ainsi jusqu’à ce que nous arrivions à une différentielle totale de la forme

Po1 dr + Qu dy :

AXCY) VIE, 7)

Puisque l'intégrale est de seconde espèce, il est nécessaire que 1 et Q4, soient divisibles par A(zx, y), car cette différentielle nous conduirait, dans le cas contraire, à une intégrale de troisième

espèce. Nous avons donc une intégrale de la forme

(5) Un —

is x) FC, 7) après avoir extrait de l'intégrale initiale une partie rationnelle en æ,7, Vf(x,y); Pet Q sont des polynomes en x et y, et (y) est un polynome dépendant seulement de y.

La conclusion à laquelle nous venons d'arriver est entièrement générale; elle subsiste, comme on le voitaisément, si Ma plusieurs facteurs irréductibles, et aussi si f{æ, 7) n’est pas premier avec les facteurs A; dans ce cas, la réduction se fait encore plus facilement, comme on le sait, d’après la théorie élémentaire des inté-

grales hyperelliptiques.

6. Il suffit donc de partir d’une intégrale de différentielle totale de la forme (5 uisque toute intégrale de seconde espèce s’ » P 5 P si ramène, comme On vient de le voir, après soustraction d’une fonction rationnelle de +, y, Vf(x, y). En regardant y comme un EN »

paramètre, arrêtons-nous d’abord sur l’intégrale

1 PeMaIdr CAT AIT On sait qu’en retranchant de cette intégrale la dérivée d’une

expression de la forme Pi(z) Vie Y)

on peut ramener le degré de P à être m—2, si m est le degré de f. Les coefficients de P,;(x) dépendront nécessairement de y, et ce seront évidemment des fractions rationnelles de y, dont le dénominateur sera (y). Écrivons donc cette expression sous la

forme

P,(2, PIVrtr: Hj A4)

où P,(x, y) est un polynome. Considérons alors la différence

P 4x + Q dy 2e 7 LCI) VF(æ, y) x (7)

Elle aura la forme, où nous gardons les mêmes notations, P dx + Q dy h 4VF(& 7)

avec la circonstance capitale que P(x,y) est, au plus, du degré m—2enx.

La condition d’intégrabilité

nr) area 2) rl

montre de suite que Q(x,y) sera, par rapport à x, de degré

m—1 au plus.

Nous avons donc une intégrale où les degrés par rapport à x sont limités. Écrivons cette intégrale sous la forme

Pdx+Qay Ver).

où P = Go2MT2+ Qi +... + Ame, Q = born + biam2+,. + bb,

les a et b étant des fractions rationnelles de y. Telle est la forme à laquelle peut se ramener toute intégrale de seconde espèce, après soustraction d’une fonction rationnelle convenable de x, y,

Vita, y).