Prenons maintenant la condition d’intégrabilité

pa = oP 2Q\ 6 AS Cr ME — 2 (6) UE RE) ee | et soit JT, J)=2rm+p(y)anmt+.. + ©m(Y).

Les deux membres de l'identité (6) vont être des polynomes en æ de degré 2m — 2. Nous aurons à égaler 2m — 1 coefficients à zéro, et dans ces 2m — 1 équations figureront les 2m — 1 fonctions AE

do, A1, :.., ms, 00, bi,

Bfe pis Dn1-

Nous formons donc un système d'équations différentielles linéaires auxquelles doivent satisfaire les fonctions & et b. Si la

surface 3? — f(x, y) admet d’autres intégrales de seconde espèce que des fonctions rationnelles de æ, y et 3, il sera nécessaire que ce système admette pour les a et b des solutions rationnelles.

# : : : RATE 8. Pour faire la discussion, supposons » impair et égal à 2p +1. En égalant d’abord à zéro dans l'identité (6) les coeffi-

2 771—2 sn ALU ee a2m 8, — VAL 2,

nous obtenons m» identités qui nous permettent d'exprimer de

proche en proche Do, bi, ..s Gen

à l’aide des & et de leurs dérivées premières. Portant ces valeurs dans les (m — 1) autres identités que nous avons encore à écrire, et qui sont fournies par la considération des coefficients de x”7?, æ”-3, ..., æ0, nous obtiendrons » —1 équations linéaires et homogènes entre

d&o Cle

Ne

A0, A, .+., Ana,

les coefficients dans ces équations étant évidemment des polynomes en y. Nous trouvons donc un système de »—1 équations linéaires du premier ordre auxquelles doivent satisfaire les m2 — 1 fonctions rationnelles &5, &i, ..., äm». [Vous sommes donc ramenés tout d’abord à reconnaitre si ce système admet des intégrales rationnelles; c’est là un problème que l’on sait résoudre.

9. Les considérations précédentes ne nous donnent pas en réalité des résultats distincts de ceux auxquels nous avons été conduits au Chapitre IV (Section HT). En nous plaçant au même point de vue qu’à cet endroit, nous devons envisager l'intégrale

ne A EU ID, UE An >)dr Vf(æ, 0)

relative à la courbe 2? = f(x, y), où y est un paramètre arbitraire, les a étant des fonctions pour le moment arbitraire de y. Cette intégrale est de seconde espèce pour y arbitraire, et elle a 2p pé-

riodes qui dépendent de y. Cherchons à déterminer les 2p fonctions

os Ai, +. Am—2;

de telle manière que ces périodes soient indépendantes de y et soient égales à des constantes

P+ P;, DCE) Pop; pour les cycles Gi, Co, ..., Cp.

En désignant par

les périodes de gm—i-i dx

re 7)

correspondant à 2p cycles C, on aura les 2p équations

(1) d0} + ui +... + AmvwiP= Pr CRE REED)

De ces équations, on peut tirer les @, et l’on aura di = P: Qui + P: Qi +. Cire P:p (GE

les Q étant des fonctions de y. Il est clair que les & ainsi obtenus satisfont à un système d'équations linéaires du premier ordre, et nous allons voir facilement que ce système n’est autre que celui qui a été formé il y a un instant.

Supposons, en effet, que les a soient des fonctions de y (rationnelles ou non), telles que les périodes de l'intégrale

ADM HE GRR... Arno dx

VI(r, y)

ne dépendent pas de y; montrons qu’on peut former une intégrale de différentielle totale

Jar +sdy,

DOTE PRIE. Ame

VJ (x, 7)

S étant rationnelle en æ et ÿ/f(x, y), tandis que y figure d’une manière quelconque. Il suffit de reprendre, dans ce cas particu-

lier, l'analyse générale du n° 24, Chap. IV. On doit avoir

Nous prenons alors

a, Vf æ, VF S=iS f Rde+ [ Rae

Los Yo LE EU

en posant fo—/f{(Xo, Y), et æo désignant un nombre fixe arbitraire. On aura pour S ainsi formé une fonction rationnelle de x

et f(x, y). On voit de suite que cette fonction rationnelle ne peut devenir infinie que pour les valeurs de + et y annulant f(x,7), et, en outre, y étant arbitraire, elle est pour x très grand, d’ordre

am 5 à ” .

— —1; par conséquent S est nécessairement de la forme

Dormir b; DA = SE TE br D

VÊCæ, 7)

les b ne dépendant que de y.

Il résulte de là que les relations différentielles trouvées au n° 8 donnent, pour les coefficients &, les mêmes valeurs que les équaüons (1). Il y a donc, au fond, identité entre la recherche que nous venons d'effectuer et celle que nous avions faite précédemment, mais nous avons ici le grand avantage d’avoir un problème beaucoup plus facile à traiter. Des calculs immédiats et tout élémentaires nous permettent de former le système d’équations différentielles linéaires donnant les quantités a, et nous avons à chercher les intégrales rationnelles de ce système d’équations, problème facile à résoudre. On remarquera que, si les équations (1) donnent pour &5, ...; 4äm 2 des fonctions rationnelles de y, les constantes P satisfont nécessairement aux équauons

T Pr mi Pi + miPo+...m,P>» ÊTE LP) 1 2 £ 1

ces équations correspondant à la substitution qui transforme w,, Wo, --., Op quand y décrit un chemin fermé dans son plan. Ce système des équations (r) n’est d’ailleurs autre chose que celui qui a été considéré au n° 22 du Chapitre IV.

10. Nous devons maintenant nous demander, dans le cas où l'on pourra déterminer rationnellement les a et les b, si l'intégrale ainsi obtenue est de seconde espèce. Les valeurs de y, correspondant aux racines multiples de l’équation en x

sont les quantités désignées au Chapitre IV par à; et désignons encore par a les racines multiples. Nous avons à reprendre la discussion du n° 23 du Chapitre IV; mais nous sommes ici dans un cas plus compliqué, car les points (4, o) pourront être des points doubles d’un degré arbitraire de complication pour la

courbe

Il faut d'abord montrer que l'intégrale

fStær, z) dy

. # \ 7 X est une intégrale de seconde espèce pour la courbe 22— f(x, Y); quand + a une valeur arbitraire. On y parvient en suivant absolunent la même voie qu’au numéro indiqué et il résultera de là

fraæ+sdy

n'a pas de courbe logarithmique passant par le point {&, b, 0).

que l'intégrale

Si ce point est un point simple de la surface, comme il l'était à l’endroit cité, il n’y a aucune difficulté, car tout cycle infiniment petit autour du point (a, b, o) se ramène alors à un cycle infiniment petit dans un plan quelconque très voisin de ce point et donne, par suite, une valeur nuile pour l'intégrale. Si le point (a, b,o) est un point double, c’est un point double isolé de la surface, et il serait peut-être possible qu'un cycle infiniment petit autour de ce point fût réductible à un cycle nul et donnât une valeur de l’intégrale différente de zéro.

Pour décider s’il en est ainsi, il faudra avoir recours à la réducon du point singulier isolé. On se rappelle qu’on peut faire correspondre à ce point une ou plusieurs courbes d’une surface sans singularités dans l’espace à cinq dimensions. Cette réduction

faite, on verra immédiatement si ces courbes sont des courbes logarithmiques pour l'intégrale, auquel cas correspondrait alors, dans le voisinage du point double considéré de la surface

un cycle infiniment petit, se réduisant à un cycle nul, et pour lequel l'intégrale aurait une valeur différente de zéro. En écrivant que cette valeur est nulle, on pourra avoir de nouvelles relations entre les P, qui viendront s’ajouter aux équations (x). Ces relations seront nécessairement aussi à coefficients entiers, puisque tout cycle pouvant se ramener à un cycle dans un plan y —CONSt; la période correspondante s’exprime à l’aide des P. On aura finalement, en opérant sur les différents points singuliers y compris ceux qui sont à l'infini, un ensemble de relations entre les P permettant de prendre un certain nombre d’entre eux arbitrairement, et l’on aura de cette manière le nombre des intégrales de seconde espèce linéairement indépendantes. Nous pouvons donc considérer que la recherche des intégrales distinctes de seconde espèce est complètement effectuée pour les surfaces dont l'équation est delaiorme = (2,7).

11. Nous allons suivre une marche toute semblable pour obtenir le nombre des intégrales distinctes de seconde espèce d’une surface dont l’équation est de forme quelconque

J(t, 7, 4) =0; P nous pouvons ici supposer que la surface n’a que des singularités ordinaires. Nous devons faire d’abord une digression relative aux intégrales de seconde espèce d’une courbe algébrique. Prenons donc la courbe de degré m

que nous supposons n'avoir que des points doubles à tangentes distinctes, les axes occupant d’ailleurs une position arbitraire. On ramène immédiatement les intégrales abéliennes relatives à cette courbe aux deux types

fe y) dx EE y) dx 2 et Si 12 (æ—af,

On n’approfondit généralement pas davantage cette réduction. M. Picard a montré dans le Tome I de son Traité d’ Analyse, p- ÿo, que, par une soustraction convenable, les intégrales du premier type se ramènent au cas où le polynome P est au plus de degré 2m — 4; de même pour le second type, on peut le ramener de proche en proche au cas où l’entier & est égal à l'unité.

Allons maintenant plus loin en supposant que l'intégrale est de. seconde espèce, et voyons ce que l’on peut dire des intégrales

Oz Je AE

Différents cas sont à distinguer suivant que la droite x = a rencontre la courbe en m points distincts, lui est tangente ou bien passe par un point double. Dans le premier cas, le polynome Q devra évidemment s’annuler pour les »m points de rencontre

de æ — a avec la courbe, sinon chacun de ces points donnerait

un infini logarithmique ; il en résulte que le quotient

du type

Q(z, 7) PR (DE

peut se mettre sous la forme d’un polynome en x et y, el nous sommes ramenés au premier type.

Supposons ensuite que æ — a soit tangente à la courbe au point y = b. Il faudra, en appelant b,, ..., b» + les m — 2 autres points de rencontre de x = a avec la courbe que Q(x, y) s’annule pour ces » — 2 points; considérons l'expression