AC, J) DL

) A(æ, y) s'annulant pour x = a, Y = Li, O2, ……., bn 2 et supposons de plus que X(a, b) = 0. Si nous représentons par

De CU (TEERT)EEEREE

le développement de y dans le voisinage du point (a, b), nous

aurons le terme Où

DTA ——

ni (æ— a)?

L x à À(æ, comme terme devenant infini dans le quotient rer Or dans T — l'intégrale Q(x, y) de (œ—a)f;"

ui n'a pas par hypothèse le point (a, b) comme point singulier À ’ P 5 logarithmique, nous aurons comme seul terme devenant infini un terme en

ne (w—a}

Tor .

Nous pouvons choisir de manière que les termes devenant infinis soient identiques dans l'intégrale et dans le quotient considéré; on peut évidemment choisir le polynome À(x, y) de manière à satisfaire à ces conditions. La différence

TEE À(æ, y)

(—a)ff za

‘restera alors finie pour x — à, et elle sera, par suite, de la forme

= J) dr Jr

P(x, y) étant un polynome.

Il reste à examiner le cas où la droite x = à passe par un point double (a, b). Désignons encore par b,, Ds, .…., bm» les ordonnées des autres points de rencontre de x = «a avec la courbe, et

reprenons l'intégrale Q(x, y)de (x—a)f,

où Q(zx, y) s'annule toujours pour (@, b,)...(a, bm»). Nous allons cette fois retrancher une expression de la forme

Choisissons d’abord À de telle sorte que ce quotient reste fini pour (a, bi), ..., (a, bm 2); pour le point (a, b), nous aurons deux développements correspondant à l’une et l’autre branches et soit

NILAOI)E=10: