PRESS II

Si les deux développements de y sont

Yy—b=pmir = as,

les développements de auront respectivement comme

terme devenant infini 0) ox dÀ ” 0À PRET a l?9b TX — € : 4 nan © À

: ; oÀ oÀ On déterminera donc et de manière que ces termes soient

égaux à ceux qui deviennent infinis dans l'intégrale. Le polynome À(æ, y) ayant été choisi de façon à satisfaire aux diverses conditions qui précèdent, la différence

Q(x,y)dz À(æ. y) e/ (æ—a)f, (TE)

restera finie pour x — a, et elle se réduira à une intégrale de la Prada r JS, | >

Il résulte de là que nous avons ramené toutes les intégrales Le, de seconde espèce, par une soustraction convenable d’une fonction rationnelle de x et y, à la forme

forme

où P est un polynome.

P(x, y) dx HOT

où P(x, 7) est un polynome en x et y de degré 2m — 4.

D’après la façon dont nous avons opéré, il pourrait sembler que dans cette réduction nous introduisons des irrationalités par rapport aux coefficients de l'équation f(x, y) — 0. En réalité, il nes est rien, car, sans résolution d'équations de degré supérieur à un, nous pouvons ramener les intégrales de second type au type

où X(æ) est un polynome en + n'ayant que des facteurs simples, et la réduction peut se faire aux intégrales du premier type sans avoir à résoudre l’équation X — 0.

Comptons les coefficients restant arbitraires dans l'intégrale (A). La courbe P—o doit passer par les d points doubles; dans P(x, y) figurent alors

coeflicients, mais nous pouvons retrancher de l'intégrale (A) le polynome arbitraire À(x, y) de degré m — 2, qui peut s’écrire

ox Qf ox of a — dr LE Jr m(m — 1)

et qui contient alors au numéraieur — 1 paramètres arbi-

traires. Le numérateur de l'intégrale ne renfermera plus alors que

(2m—3)(2m — 2) [ee

paramètres, et l’on peut encore réduire ce nombre, car le numérateur ne changera pas si l’on en retranche le produit

Az, F)f(æ; rh

où À, est un polynome de degré m — 4, ce qui diminue encore le nombre précédemment trouvé de

Um = 3)((m —2)

En définitive, le nombre des paramètres restants sera

(2m—3)(2m bee m(m—1) pre (m—3)(m— 0) RER LE. TA 2 2 2 Si, d'autre part, nous voulons que l'intégrale soit de seconde espèce, nous aurons à écrire que le point wo n’est pas un point critique logarithmique, ce qui donne 7» —1 conditions. Il reste donc, en résumé, un nombre de coefficients arbitraires égal à

m—om+i—d—(m—1i)=(m—i)(m—2)—d=2p+d

En prenant arbitrairement 2p intégrales de la forme indiquée, on est assuré d’avoir un système de 2p intégrales de seconde

espèce linéairement indépendantes.

12. Après cette digression, revenons aux intégrales de différentielles totales de seconde espèce relatives à une surface TR 7e) = orne paragraphe précédent que nous pouvons, pour la courbe entre x et z

far, lee:

trouver 2p intégrales distinctes de seconde espèce

free O2: (&, 7 z) dæ re NE 4 2 m7 2 Ja Jz où les Q sont des polynomes en x, y et z. Reportons-nous alors

au n° 23 du Chapitre IV.

Nous avons cherché à déterminer les fonctions rationnelles Gi, Grp de y, de manière que les périodes de l'intégrale

aa Qi+...+ a:

\L 1 Qi ra 2pQp qe ne dépendent pas de y. En désignant par R le coefficient de dx sous le signe d'intégration, nous avons vu que si la détermination indiquée des a est possible, il y aura pour la surface une intégrale

correspondante 3! Rae.

de seconde espèce dans laquelle on peut prendre, pour S, une expression de la forme

T (0 + (HE) D >: L R(x, y, z)dx

Or on peut trouver la forme de S considérée comme fonction de æ et z. Une telle expression ne peut devenir infinie que pour les points (z 1 fai à la relau = À

points (3, x) satisfaisant à la relation f!—0. D'autre part R

à “ + Sa © ’

est, pour æ très grand, infini d'ordre m — 3; par suite S sera . . . . » À dans ces conditions, infini d'ordre m — >. Donc S est nécessai-

rement de la forme C2) ee Er nes GE |

Ja

U étant un polynome en # et 3 de degré 2m — 3. On peut d’ailleurs donner à un polynome en x et 3 de degré 2m» — 3 différentes formes quand x et = vérifient une relation algébrique entre x et z, relation qui est ici f(æ, y, 5) —o. On peut évidemment supposer que 3 entre seulement au degré m — 1, et prendre alors pour Ü une expression telle que

D Co zn—1 OT nm É

gi étant un polynome en x de degré au plus égal à m + à — 2, les coefficients de ces polynomes étant des fonctions de y que nous désignerons par D. Nous sommes assurés, en reprenant les raisonnements du n° 23, Chap. IV, que si les & sont des fonctions de y

(rationnelles ou non) satisfaisant aux équations

(x) UE + Of +... + poil = Pr CNE 02);

les P étant des constantes arbitraires, on pourra adjoindre à R une expression S dépendant de x, y, 3 et rationnelle en x et z,

et telle que R dx +S dy

soit une différentielle totale exacte. Or prenons pour S une ex-

: U : ; pression de la forme —;, les coefficients b des puissances de x

dans les polynomes & étant des fonctions indéterminées de y, et écrivons la condition d’intégrabilité pour la différentielle précédente. Nous obtiendrons ainsi un système d’équations différentielles du premier ordre entre les fonctions & et les fonctions d de y. Sans qu'il soit nécessaire de faire aucune discussion, nous sommes assurés que l’on pourra, entre les équations de ce système, éliminer les fonctions b, de manière à avoir un système de 2p équations linéaires du premier ordre à coefficients rationnels eny; nous savons, en effet, que les & sont déterminées par les équations (r), où figurent seulement 2p constantes arbitraires et cela d’une manière linéaire. Nous sommes donc certains de pou-

voir, par des calculs élémentaires, former un système d'équations linéaires L auquel satisfont les coefficients a. Il ne reste plus alors qu'à reconnaître si ce système d'équations admet des intégrales rationnelles et, s’il en admet plusieurs, combien :il en admet de linéairement indépendantes.

Nous n'avons ici aucune discussion à faire pour les points singuliers, comme nous avons pu avoir à le faire au n° 10, car la surface n’a ici que des singularités ordinaires. D’après les explications données au n° 4 de ce Chapitre, le nombre des solutions rationnelles linéairement indépendantes du système 1 sera égal à pi —1, et l’on a ainsi ramené la recherche du nombre pa à la question de reconnaître st un système facile à former d'équations linéaires ordinaires à coefficients rationnels admet des intégrales rationnelles. Nous pouvons donc regarder comme résolue la question qui à fait l’objet de cette Section : trouver le nombre des intégrales distinctes de seconde espèce d’une surface donnée.