III. — Des intégrales de troisième espèce

13. Une intégrale de différentielle totale, pour une surface f(x, Y, 3) = 0, n'ayant que des singularités ordinaires

frd+Qar,

où Pet Q sont rationnelles en +, y, 3, sera, comme nous l'avons dit au n°2, une intégrale de troisième espèce, quand elle aura une courbe logarithmique. Le long de certains contours infiniment peus, réductibles à un cycle nul, l'intégrale aura une valeur différente de zéro. Nous appellerons période logarithmique une période provenant d'une courbe logarithmique.

Si l’on a une surface, pour laquelle p, — 1, il est clair que l'intégrale ne peut avoir d’autres périodes que des périodes logarithmiques, car tout cycle se ramène par une déformation continue aux cycles infiniment petits qui ne peuvent donner que des périodes logarithmiques. Dans le cas où l’on a une surface correspondant à p, >1, on peut obtenir une intégrale de troisième

espèce ayant, en dehors des périodes logarithmiques, p, —1 périodes arbitrairement choisies; on peut, en effet, ajouter à une première intégrale de troisième espèce une intégrale de seconde espèce ayant p, — 1 périodes arbitraires.

Nous avons dit qu’à chaque courbe logarithmique correspond une période logarithmique. Supposons, comme :l est permis, qu'uve courbe logarithmique irréductible C ne soit pas située

dans un continuum y — const. Si l’on considère l'intégrale fe Po; =) dx,

relative à la courbe f(æ, y5, z) — 0 entre x et z, cette intégrale aura un certain nombre de points singuliers logarithmiques correspondant aux points de rencontre de la courbe C avec le plan Y —=Yo. Pour un quelconque de ces points, la période logarithmique sera une constante nécessairement indépendante de y; donc, à chaque courbe logarithmique correspond une période logarithmique. Or on sait que, dans une intégrale abélienne, la somme des périodes logarithmiques correspondant aux divers points singuliers logarithmiques est nulle; par suite, si une intégrale différentielle totale a différentes courbes logarithmiques

irréductibles C1, Co, ... C;,

de degrés respectifs ne Mi vos MON

on aura nécessairement, en désignant par l,,T,, ..., M) les valeurs des périodes logarithmiques correspondantes

Mali + Mlo+...+ ml) = 0.

14. Cherchons, autant qu'il est possible, à faire la réduction

d’une intégrale de troisième espèce. Bornons-nous aux équations de la forme

Soit donc l'intégrale 1 dx + Q dy M VF, y)

où nous avons M = A2BB...LA,

les facteurs A, B, ..…., L étant irréductibles et premiers avec f(æ, y). En faisant les mêmes réductions que dans le cas des intégrales de seconde espèce, nous sommes ramenés à

fl P dr + Q dy ; J. LON)A:B LT, On peut établir une proposition intéressante relative aux po-

lynomes À, B, .…., L qui figurent au dénominateur. Laissant y constant, considérons la période logarithmique de l'intégrale

Î P dx x(Y)A.B...Lyf(, »)

relative à un point x racine de A(x, y) —0; cette période sera

P(x, 7) 0A = or Vf(z,7) Cette expression devra être indépendante de y (x étant la fonc-

tion de y définie par À — 0), soit Æ sa valeur constante. On aura

(R étant le polynome kyŸ B...L) pour toutes les valeurs de x

et y satisfaisant à l’équation A(x, y) —0. Nous avons donc la conclusion suivante : La surface ÂA(x, y) = o coupe la surface

proposée 3? — f(x, y) suivant les deux courbes distinctes IP (1) A(Z,J)=0, 2= 2 R P (2) AU Pl = ASS Ainsi ces polynomes À, .…., L ne peuvent étre pris arbitrairement.

15. La condition nécessaire que nous venons de trouver relativement aux polynomes A, B, ..…., L vient compliquer singulièrement la discussion complète des intégrales de troisième espèce. Elle peut conduire à des résultats assez singuliers au premier

abord, comme celui que je vais indiquer. Prenons le cas simple de

f P de + Q dy A(x, 7) VIe, )

la condition d’intégrabilité sera

; CT af ae CPE O D A cn OR AIEONESES 7

On peut se donner arbitrairement A{x, y), et l’on peut certainement satisfaire à cette équation en prenant pour P et Q des polynomes en x et y: il suffira de prendre ces polynomes d’un degré suffisamment élevé. Mais si A(æ, y) ne remplit pas la condition nécessaire qui vient d’être indiquée, c’est-à-dire si la surface

Ar 5) EI0 ne coupe pas la surface

suivant deux courbes distinctes, t/{ ne sera pas possible que l’unique courbe d’intersection de ces deux surfaces donne une courbe logarithmique. I faudra par conséquent nécessairement que Pet Q soient divisibles par A.

La question inverse se pose alors d’elle-même : Comment doit être choisi A(zx, y) pour que l’on puisse trouver des polynomes P et Q satisfaisant à l'équation (3), et qui ne soient pas divisibles par A.

Un cas simple est celui où l’on prendrait A(%, 90) = MEN;

M et N étant deux polynomes, car il est évident alors que l’expression

M—NV# M+Nyf

log répond à la question, c’est-à-dire peut se mettre sous la forme

1 P dx + dy A(z, 7) VF(æ, y)

où P et Q sont des polynomes; les deux courbes logarithmiques

sont les courbes d’intersection de la surface À — o avec la surface 22— f(x, y), courbes qui ont respectivement pour équations

M AUX, PILE ERRET et . M A(X F0 EE TX:

16. La condition nécessaire trouvée pour A(x, y) revient à dire que ce polynome doit être un diviseur d’un polynome de

la forme MN 7),

en désignant par M et N des polynomes premiers entre eux. Il est évident, en effet, que si À désigne un diviseur d’une expression de cette forme, la surface À — 0 coupe la surface 2? = f(x, y) suivant les deux courbes distinctes

Ar 00; 3—=—E —.

Si le polynome A est de la forme M2— N? f(x, y), on pourra de l'intégrale P dr +Q dy ere Vftæ, y)

retrancher un terme logarithmique, à savoir

M—Nyf

NO MEN YF (où K est une constante convenable), de telle sorte que la différence n'ait plus pour courbes logarithmiques les deux courbes

INR P= 0 Li ae 0

Les seules courbes logarithmiques à distance finie pour lesquelles on ne puisse pas faire une soustraction de cette nature sont ceiles qui proviendraient d’un polynome A(zx, y) diviseur d’une expression de la forme M? — N? f(x, y), où M et N sont

premiers entre eux, sans être lui-même de cette forme. Cette dernière circonstance algébrique peut effectivement se présenter; soit par exemple

Le polynome æy /2 — 1 divise (RAS TAN ENTER HET) sans être de la forme M?— N?{(æ&'+yi+i1).

Il serait intéressant de savoir si, À étant un polynome jouissant

de la propriété indiquée [n'étant pas de la forme M?— N° f(æ, y)], on pourra trouver une intégrale de différentielle totale

je dx + Q dy À VfCæ, VE) sans que P et Q fussent divisibles par A. C’est un point que nous

n'éluciderons pas, et nous allons seulement faire une remarque importante sur la réduction des intégrales de troisième espèce,

qui pourra être utile pour la solution de la question posée.