Considérons l’intégrale de différentielle totale
Pdr+Qdy fl A(æ, y) Vf(a 7)
Nous supposons que dans le polynome f(x, y), de degré m, l’ensemble des termes homogènes de plus haut degré #(x, y) n'ait que des facteurs simples; nous désignerons par « le degré de A.
Soit k Le degré de P et Q; désignons par p et g l’ensemble des termes homogènes en x et y de degré k dans P et Q, et par a(z, y) l'ensemble des termes homogènes de degré « dans A. Nous supposons que a(x, y) est premier avec o(x, y), et que a(æ, y) n’a que des facteurs simples.
En prenant dans la condition d’intégrabilité l’ensemble des termes homogènes de plus haut degré, nous aurons évidemment
d do 0) da da (4) a(r@ 1%) n[a(2 2) + AL
o(æ, y) désignant l’ensemble des termes homogènes de degré m
; ; NA dans f : cette équation peut s écrire
c 0) 0 da da o— M mag—ra[e(D—H)+a pre]
Or, d’après (4), puisque # est premier avec 4, da da T ox P 9y est divisible par a; par suite, on peut diviser par a le second membre de l'identité (5) et la mettre sous la forme
2? Fa (PRE te
do do ; et, comme - et — sont premiers entre eux, on a 0x 0y ) 9 PEN SX 0] q=—px+ À de!
x et À étant deux polynomes homogènes en x et y, le premier de
degré À — 1, le second de degré Æ — m +1. En substituant ces 5 ) 5
valeurs de p et g dans l’équation (4), on obtient la relation
dÀ do où d9 ) dg da dœ da\ dy 0x 0x dy à CE 0x 0x 07]
au(m—2k—2+24)— 2a( qui permet d’exprimer y en fonction de À, si l’on a
En portant dans l'intégrale jl p dx + q dy a(x, 7) Ve(æ, y)
la valeur de w ainsi obtenue, on trouve que cette intégrale est égale à
2m+4a À Vo
DLÉDETTES D ARC
Nous avons supposé que a(æ, y) n’a que des facteurs simples. Il faudra que } soit divisible par a(x, y), car les infinis de l’intégrale provenant de a(x,y)—o ne peuvent être que logarithmiques (& el # étant premiers entre eux); il s'ensuit que p et q : do da __ de da
dy 0% dx 07 aurait un facteur commun avec &, ce qui est impossible quand a
sont nécessairement divisibles par &, car autremen
et © sont premiers entre eux et que a n’a que des facteurs simples.
Posons
== et retranchons de l'intégrale proposée l'expression
2Mm +44
She y) VfCe, y):
2ÉES—= mm 02
la différence sera de la forme
ïl P; dx + Q:; dy A(æ, y) VF(&, 7)
où P, et Q, seront au plus de degré Æ — 1. On a donc pu diminuer d’une unité le degré des polynomes qui figurent au numérateur. On continuera ainsi la réduction de proche en proche. Une valeur de À jouant un rôle important est évidemment
U712 er li D.
Supposons que m soil pair et égal à 2»; on pourra faire la réduction jusqu’à ce que k=m—1+u. Arrêtons-nous sur le cas particulier de l'intégrale P dx + Q dy D | VfCe, y) c’est-à-dire où & — 1, et, par conséquent, à — 0. Quand on fait la réduction telle qu’elle vient d’être indiquée, on rencontre une cir-
constance intéressante; en réduisant de proche en proche il arrive un moment où #—m/ — 1. Le polynome À se réduit alors à une
constante et l'équation, qui donne p, indique que ps — 0. La réduction peut se faire, on a à retrancher de l’intégrale le terme
2) VF(Z, J);
mais dans la nouvelle intégrale ainsi obtenue, le degré de P et Q ne sera pas »m — }, car, dans cette hypothèse, À doit être nécessairement nulle, et l'équation donnant j} montre que 4 — 0, tant que RENTE nt
Donc le degré de P et Q tombera à m'— 1; nous raménerons
donc l'intégrale ci-dessus à l’intégrale P; dr + Q,; dy | Va, ) dans laquelle le degré de P, et Q, est égal à m'— 1, et la réduc-
ton se trouve terminée.
19. Nous avons supposé au numéro précédent que a(x, y) n'avait que des facteurs simples. On pourra tirer parti de la réduction précédente, dans bien des cas où il en sera autrement.
Soit, par exemple, A(æ,y)=T[Ai(x, J)I%;
le terme a, (x, y) homogène et de degré maximum dans A, n'ayant que des facteurs simples, et supposons, comme plus haut, & (x, y) premier avec ©(x, y). On pourra faire la réduction effectuée précédemment ; on aura ici
Le polÿnome À sera divisible par à, et, si l’on pose À — À,
le terme à retrancher de l'intégrale sera
VIEN TES [AiCæ, 7-1”
AN = = L vP .
à cette modification près, l’analyse du numéro précédent subsiste.
20. Nous avons considéré lus haut Un Cas articulier celui où P ) l’on à CZ J)= x" ue" p
et nous avons indiqué que le polynome æy Va —1 divisait une expression de la forme Mie N?f(æ, y)
M et N étant premiers entre eux, sans être lui-même de cette forme. Cherchons si l’on peut trouver une intégrale de différenuelle totale de troisième espèce de la forme
(6) Padr+Q dy ere Vai+yi+r
P et Q étant des polynomes, D’après le numéro précédent, il suffira, pour le vérifier, de supposer que P et Q sont des polynomes du troisième degré. En se servant de la formule (3) d’intégrabilité, on trouve la seule solution
Pie; Q =0;
on est donc assuré que toutes les intégrales de différentielles totales de la forme (6) (où P et Q sont des polynomes) se réduisent
à des fonctions rationnelles de x, y, Vf(x, y).
21. Nous n'approfondirons pas davantage, pour le moment, l'étude des intégrales de troisième espèce. Une question intéressante devrait tout d’abord être résolue : Peut-il exister, pour une surface dont la connexion linéaire est égale à l’unité, des intégrales de troisième espèce ne se réduisant pas à une combinaison algébrico-logarithmique de la forme
V(x, Y,z<) + ZA;logR;(æ, y, 3)
les À étant des constantes, Yet les R étant des fonctions rationnelles de x,y, 3?
Reprenons l'intégrale
{| P dr +Q dy | A(æ, y) Vfte, 7)
Si A(x,y) admet un diviseur de la forme considérée plus haut M?— N° /(x, y),
on pourra, de l'intégrale précédente, extraire une expression de
la forme
& étant une constante convenable, de telle sorte que la différence n’admette plus les deux courbes logarithmiques
APM 0} Gi N°
comme nous l’avons vu au n° 16. Ce serait seulement dans le cas où A(x, y) aurait un diviseur qui ne serait pas de la forme
"= N2 f(x, Le?
sans que P et Q fussent divisibles par À, que l’on pourrait espérer avoir une intégrale ne se réduisant pas à une combinaison algébrico-logarithmique. Le cas particulier traité dans le numéro précédent ne nous fournit malheureusement pas l'exemple que nous aurions voulu donner.
DES INTÉGRALES DOUBLES DE PREMIÈRE ESPÈCE ET DES INVARIANTS QUI S'Y RAPPORTENT.
4. Etant donnée une surface algébrique à laquelle nous ne supposerons d'abord que des singularités ordinaires
nous allons considérer les intégrales doubles de la forme
ff Fr, sde dy,
où F est une fonction rationnelle de x, y et 3. Nous rechercherons quelle doit être la forme de la fonction F, pour que cette intégrale ait une valeur finie déterminée, quel que soit le contiouum d'intégration. Nous nous bornons, d’ailleurs, pour bien fixer les idées, à des continuum formés de portions de surfaces analytiques en nombre fini. Nous appellerons une telle intégrale double une intégrale double de première espèce. Écrivons l’intégrale sous la forme
dx d [. R(&, 7, 8) re
(1) Les intégrales doubles de première espèce ont été, pour la première fois, considérées par M. Noether (Math. Annalen, t. IL, p. 301), mais l’éminent géomètre pose ces intégrales, & priori, et ne fait aucune discussion sur leur forme nécessaire. Dans ses travaux ultérieurs, il ne revient plus sur le point de vue transcendant, qui a été surtout développé par M. Picard (Comptes rendus, 1884, et Mémoires sur les intégrales de différentielles totales et les fonctions algébriques, 1883-1889 ).
PÉRRTÉS: 12
où R est une fonction rationnelle. do d’abord que l’on
ARE ; dx dy 2 due dz dz dx peut, dans l'intégration, remplacer ou —;—: En J2 PES J;
effet, pour faire l'intégration, on doit . zx, y et z comme fonctions de deux paramètres réels X et 4, et l’intégrale écrite
plus haut revient à DC)
31 R(+, 7,5) PO ) di dy.
Des équations of 0x of dy , of dz 0x 0 dy ok 03 0À of dx of dy of oz
“dan T
0x du. dy Ou 03 du
on conclut D(2#) D(y,2) D(z, x) D(X, u) DAC) DiÀ.u) — 7 kr
EE 07 0z 0x y
et, par suite, d’une manière abrég
Ée,.
dx dy __ dy dz __ dzdx ER TETE
Il résulte de là qu’en tout point simple de la surface pour lequel R est finie, l'intégrale reste finie.
Nous allons montrer que, pour que l’intégrale reste finie, il Jaut que R(x, y, z) ne devienne infinie pour aucun point à distance finie. I est d’abord évident que R ne peut être infinie en un point de f, sans être infinie le long d’une ligne de la surface. Supposons alors que R devienne infinie le long d’une ligne simple CG de la surface. Prenons sur C un point arbitraire (a, b, c), où nous pouvons supposer f:<0; dans le voisinage de ce point, la courbe se projettera sur le plan des xy suivant une courbe
o(æ, y) étant holomorphe dans le voisinage de = a, y —b :
æz—=a, y — 0. Faisons alors le changement de variable
