FO, H

et les deux paramètres X et x/ par une seconde relation algébrique

[ de genre p RL FORD 0

Nous supposons, en outre, qu’à un point arbitraire de la surface ne correspondent qu’un seul système de valeurs (À, p) et un

seul système de valeurs (4, u/).

Cherchons le genre p, de la surface définie par les équations (4).

fre MG} Re IEC du) dx,

p intégrales de première espèce linéairement indépendantes de la courbe f, et

far u')d?', + 17 fox, u') d\'

p'intégrales de première espèce linéairement indépendantes de la courbe F. Formons l'intégrale double

fre m).Qz(À',-u')d2X d\'.

Elle sera évidemment de la forme

Soient

fl Dr me) dede

P étant rationnelle en +, y, 3, puisque, par hypothèse, les À et x sont rationnelles en x, y et z. Nous formons ainsi pp! intégrales doubles de première espèce, qui sont linéairement indépendantes, et, par suite, le genre de la surface est au moins égal à pp'.

Il est aisé de montrer que ce genre est précisément égal à pp’. Toute intégrale double de la surface est, en effet, de la forme

Ji p(A,u,À',u)dX di.

Supposons-la de première espèce. Î[l sera d’abord nécessaire que l'intégrale simple

fee ue, À’, a’) dÀ

si fer s pr : 4 (N' et étant considérés comme des constantes) soit une intégrale

de première espèce pour la courbe

nr On a donc UE

FO BA, p)= D API UE) (i=n0,..,p),

les À ne dépendant que de \'et u' dont ils sont nécessairement des fonctions rationnelles. On voit ensuite que

fIZara, e| dx

doit être une intégrale de première espèce de la courbe

k LS) 0, el, par suite,

ip K—=D!

D'AC, p).P:Q p)= À Br LUN, m'), LA E=A à:

les B étant rationnels en } et u. Donnons à (À, x) p systèmes de valeurs fixes arbitraires; on pourra tirer, par des équations du premier degré, les A;(N, u') en fonctions linéaires des Q4(W, pr); donc w(À, u, N, u/) est de la forme

PE p)= Ÿ x PQ, m) Ou);

oh,

les « étant des constantes; il en résulte que toutes les intégrales doubles de première espèce sont de la forme trouvée plus haut. En définiuve, nous avons, pour la surface définie par les équa-

ions (4), Don

III. — Digression sur les systèmes linéaires de courbes tracées sur une surface (1).

10. Avant de continuer l'étude des surfaces adjointes d'ordre

(‘) Les points essentiels de cette section sont empruntés à deux Mémoires remarquables de M. Enriques, sur lesquels nous aurons ultérieurement à revenir [ Ricerche di Geometria sulle superficie algebriche (Mémoires de l’Académie de Turin, 1894), et Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche (Mem. della Societa Italiana d. Sciense, 3° série, t. X; 1896)].

m — 4, il est nécessaire que nous fassions quelques remarques générales sur les systèmes linéaires de courbes tracées sur une surface algébrique S. Nous considérons l’intersecuion de la surface S avec un système linéaire de surfaces, c’est-à-dire avec un

système de surfaces

(L) du Li + do Lo+...+ ar Lrn= 0,

les L étant des polynomes en (x, y, =), et les à des constantes arbitraires. Il peut y avoir des courbes fixes d’intersection (c’està-dire indépendantes des «) du système L avec S; la courbe ou les courbes qui nous intéressent sont les courbes de rencontre variables avec les 4, et quand nous parlons de la courbe ou des courbes définies par L, il n’est question que de la courbe ou des courbes variables.

Le système linéaire sera dit réductible ou irréductible, suivant que la courbe variable d’intersection sera elle-même réducuble ou non. La courbe générale d’un système linéaire peut avoir des points fixes que l’on appelle pornts-bases.

Un système linéaire sera dit d'ordre r, si par r points arbitraires de la surface passe une seule courbe du système ; c’est le cas où, dans l’équation écrite ci-dessus, les L sont des fonctions linéairement indépendantes sur la surface (!). Un système linéaire porte le nom de faisceau lorsque son ordre est égal à wn, et le nom de réseau lorsque son ordre est égal à deux.

(!) On peut se demander si une famille de courbes érréductibles, tracées sur une surface telle, que par r points arbitraires de la surface ne passe qu’une seule courbe de la famille, forme nécessairement un système linéaire. M. Enriques a montré (Rendiconti della R. Accademia d. Lincei, 1893) que la réponse est affirmative si r est supérieur à wn. Pour le cas de r = 7, il peut en être autrement, comme le montre l'exemple des génératrices d’une surface réglée. Il y a cependant des cas où le théorème de M. Enriques est encore applicable pour r = x. C'est ce qu'a fait voir M. Castelnuovo [ Alcuni resultati sui sistemi lineari di curve appartenenti ad una superficie algebrica (Societa Italiana delle Scienze, 1896)] pour les surfaces dont le genre géométrique égale le genre numérique ; M. Humbert a aussi montré qu’il en est de même pour les surfaces qui n’ont pas d'intégrales de différentielles totales de première espèce [ Sur quelques points de la théorie des sur faces algébriques (Journal de Math., 1894]. Ces résultats intéressants semblent indiquer quelque dépendance entre la théorie du genre numérique et celle des intégrales de première espèce; nous aurons à y revenir.

| On appelle degré D d'un système linéaire le nombre des points de rencontre variables de deux courbes du système L.

11. Faisons quelques remarques relatives aux intersections de deux courbes générales du système L, et qui nous permettront d'établir une distinction entre les différents systèmes que l’on peut avoir à considérer. Il est d'abord évident que si deux courbes quelconques du système ont toujours une partie commune, cette partie commune est fixe. Une remarque non moins évidente est relative au cas d'un faisceau linéaire (r —1). Un point commun à deux courbes du faisceau doit Être commun à toutes, comme le monire l'équation 2, L, + 2,L, —0; ce point est donc un pointbase ; il n'existe pas de points de rencontre variables et, par suite, D— 0.

Supposons maintenant r >> 1. Le cas le plus général sera celui où, deux courbes générales du système ayant D points de rencontre vanibles, la condition de passer par un point de la surface n’entraine pas, comme conséquence, pour ces courbes, l'obligation de passer par d'autres points déterminés par le premier. En d’autres termes, le système linéaire d'ordre r — 1, formé par les courbes L qui passeal par ou point 2rbitrairement donné de la surface, est de degré D — 1. On dit alors que le système est simple.

Une autre circonstance moins gésérale peut se présenter : c'est celle où les courbes L. qui sont 2ssajetlies à passer par un point arbitraire, passent mécessairement par m—1 autres points, et forment alors un système linéaire de degré D — m. Dans ce cas, les D points de rencontre se partsgent en s groupes de m points, . Ton à D— ms. On dit alors que le système forme une involution D. 1 est char que ce fait se présente toujours pour un réseau, s1 la surface n'est pas rationnelle.

Enfe, il peut arriver, r étant plus grand que un, que deux courbes générales du système n'aient pas de points de rencontre variables. Imzemmons toujours le système linéaire d'ordre r —1, fommé per les couches L qui passent par un point. Toutes ces courbes n'ayant pes de points de rencontre variables auront forcément mue courbe commune, passant par ce point, qui fera partie de l2 courbe gémérale et qui sera déterminée par un seul point. Assujetlissons ce systéme d'ordre r — 1 à passer par un second

point fixe, nous détacherons encore, de la courbe générale, une seconde courbe jouissant de la même propriété. En continuant ainsi de proche en proche, on voit finalement que la courbe générale se composera d'au moins 7 courbes disüinctes, car il pourra encore rester, la réduction précédente étant achevée, un certain nombre de courbes composantes. Soit m le nombre total de ces courbes ; elles forment un ensemble dépendant de r paramètres, et qui est tel que par chaque point de la surface ne passe qu'une seule de ces courbes. On dit alors que le système linéaire est formé de m(mZr) courbes d’un faisceau, et, dans ce cas, on a évidemment D — 0.

Revenant au cas où D est plus grand que zéro, nous ferons encore la remarque importante que les D points d’intersection variables doivent décrire la surface tout entière. Supposons, en effet, que quelques-uns de ces points décrivent une courbe fixe (F) de la surface ; une courbe particulière quelconque du système L coupera F en un certain nombre de points. L’un au moins de ces points appartiendra à une autre courbe du système qui, dans l’hypothèse admise, ne pourra que rester fixe quand on la fera varier. Le point considéré serait donc un point fixe et non un point variable de rencontre, comme nous l’avons supposé.

Ajoutons finalement que l’on a,entrer et D, sir >1ret D > 0, l'inégalité évidente

D2r—1, puisque par 7 —1 points arbitraires on peut certainement faire passer deux courbes L.

AO " s © A a Che les RUE Re à 12. Tout système linéaire simple, d'ordre 7 supérieur à deux, Ë :

permet d'effectuer une transformation de la surface dans un espace È; à 7” dimensions (r/£7r), pourvu que r’ soit? 3. Prenons l nf. & em + e 2 1 + 1 surfaces L arbitraires et envisageons le système

(L) di Li + abs, + Ap'+1 1e 10

posons

L,+: Lien L,1

Cette transformation fera correspondre à la surface S, dans l’es-

pace à trois dimensions, une surface S’ dans l’espace à ' dimensions (X1, X2,..., X}). A un point arbitraire de S correspond un seul point de $’, et réciproquement, car, quand les 7! équations précédentes en (x,, z) ont une solution commune correspondant à un point de la surface, elles n’en ont qu'une en général, puisque le système est simple et que 723.

Cette surface S' sera d’ordre D. En effet, envisageons dans l’espace Ÿ,: deux hyperplans arbitraires

AiX,; - As X; +... + À hrX pr + As — O, AS X, + A Xa so AXE A — O,

qui déterminent une variété linéaire d'ordre r! — 2 ; elle coupera la variété S’ d'ordre 2 en un certain nombre de points déterminés par les équations

A: Li ce A 9 Lo Sr se À 1 L134 —= O, A! L, += A; La MAT a AH = O,

qui ont, sur la surface S, D solutions communes variables avec les À. Le système linéaire étant simple, à ces solutions correspondront, en général, des points disuinets de S’; par suite, la surface S' est bien d'ordre D.

Remarquons, en outre, qu’à une surface (L\ correspond dans Ÿ,. q ) 2 un hyperplan

dy X 1 + Go X2 18e Ci Xp Ayr'+1 —= O

et réciproquement, et, par suite, que les sections hyperplanes d'ordre 7 — 1 de S' correspondent à des courbes de S appartenant au système linéaire.

Si le système (L), au lieu d’être simple, appartenait à une involution 1,, on pourrait encore effectuer la même transformation, mais alors cette transformation ne serait plus biunivoque. À chaque point de S correspondrait un point de S/, mais à chaque point de S’ correspondrait » points deS, et l’ordre de S' serait égal à 2

On peut cependant, même dans le cas d’une involution, modifier la transformation précédente, de manière qu’elle donne

lieu à une correspondance biunivoque dans tous les cas. Placons-nous toujours dans le cas général ; prenons 7’ surfaces L

Adjoignons à ces surfaces deux surfaces déterminées P, et P», que l’on peut toujours supposer telles que la courbe du faisceau

(Ps) Bi Pi+ B2P2 = 0

(les $ désignant des constantes arbitraires) qui passe par un point quelconque À de S ne passe pas par les points conjugués de A dans l’involution L, si elle existe. Nous poserons alors

Cette transformalion est biunivoque, comme il résulte immédiatement des hypothèses faites sur P, et P, : à la surface S dans l’espace Y; correspond une surface S' dans l’espace E; et ces deux surfaces se correspondent point par point. Chaque point de S' peut être considéré comme obtenu par l’intersection d’une droite parallèle à une direction fixe, l’axe des X,, avec un hyper-

plan P,X,:— P, — o parallèle à un hyperplan fixe. Aux courbes (L) sur S correspondent sur S/ les sections faites par les hyperplans

di Xi+ a Xo +... + apr Xp + Apr = 0,

parallèles à l'axe X,, et aux courbes (P) correspondent les sections faites par l’hyperplan

BiXr + 8 — O,

parallèle à un hyperplan fixe. Quant à l’ordre de S’, il dépendra, en général, des fonctions P, mais, dans tous les cas, une variété linéaire d'ordre r'— 1 parallèle à l’axe des X,’ coupera S' en D points. Si done D = 0, la surface S' devra se réduire à un cylindre dont les génératrices sont parallèles à l’axe des X,..

La transformation précédente peut être modifiée. On conçoit, en effet, que, par une transformation homographique, on puisse faire en sorte que chaque point de S'soit déterminé par l’intersection d’une droite, passant par un point fixe O, avec une variété linéaire ou hyperplan X,:, passant par une variété linéaire fixe 3, , dans l’espace Y,, et ne passant pas par le point O. Dans ces condions, aux courbes (L) de S correspondent sur S’ les sections

faites par des byperplans passant par un point fixe O, et aux courbes (P) les sections faites par des hyperplans passant par la variété linéaire 3, », et si D — 0, la surface S’ se réduit à un cône de sommet O,

On peut imaginer bien d’autres transformations analogues aux précédentes, qui s’indiqueront d’elles-mêmes d’après la nature du problème à traiter. C’est ainsi que, au lieu d’un faisceau auxiliaire (P), on pourra être conduit à prendre un système auxiliaire d’un ordre plus élevé ; nous en verrons, à la fin de cette Section, un exemple dans lequel on effectuera une transformation en prenant simplement un faisceau de courbes (L) et un réseau arbitraire. Le but principal qu’on se propose est de substituer aux courbes (L) des courbes planes.

13. Démontrons maintenant un théorème important relatif aux systèmes linéaires. Soit un système linéaire pour lequel la courbe variable d’intersection ne se compose pas des courbes d’un faisceau, c’est-à-dire pour lequel, comme nous l'avons vu, on a D > 0. Nous allons établir que, dans cette hypothèse, /a« courbe variable d’intersection est nécessairement irréductible.

Supposons que le théorème soit inexact, et faisons avec trois polynomes L la transformation générale indiquée au numéro pré-

cédent. On prendra