L.” Y = Le Le La

On aura alors, dans l’espace à trois dimensions, une surface S' dont toutes les sections planes parallèles à l’axe des Z seront formées de courbes réductibles, puisque ces sections correspondent à des courbes du système linéaire. Nous avons donc à étudier une surface algébrique irréducuble, telle que toutes ses sections planes, parallèles à une direction donnée, ou, ce quirevient au même, par une transformation homographique, telle que toutes ses sections planes correspondant à des plans passant par un certain point O sont des courbes réductrbles.

Prenons le point O comme origine, et considérons une droite arbitraire passant par O, que nous prendrons un moment comme

axe des 3. Si J(æ&,7,3)=0

désigne l’équation de la surface, la courbe plane définie par l'équation entre x et 3,

doit, par hypothèse, être réductible, quel que soit le paramètre À. Or, pour faire cette décomposition, il faudra résoudre une certaine équation d'un degré n,

ur+ Aiur-i+...+ A, =o,

équation dont les coefficients À sont fonctions rationnelles de À. À chacune des racines de cette équation correspondra une courbe composante, el les courbes composantes seront en nombre 7 pour À arbitraire. Pour un nombre fini de valeurs de À, l'équation auxiliaire aura une racine double, et, par suite, on aura un nombre fini de plans passant par Oz, et tangents à la surface le long d’une ligne. La droite Oz étant d’ailleurs une droite arbitraire passant par O, il y aura donc un système au moins simplement infini de plans touchant la surface S' suivant une ligne ; cette surface sera donc développable, et comme les plans tangents de ce système passent par un point fixe, ce sera un cône de sommet BE En revenant à la transformation initiale, on a un cylindre, et les courbes de S' correspondant au système linéaire sur S,

d1 Li + % Lo + as Ls — O,

sont les génératrices de ce cylindre : deux courbes du Système n’ont pas alors de points variables de rencontre, ce qui est contre l’hypothèse que la courbe variable d’intersection ne se compose pas des courbes d’un faisceau. Le théorème est donc démontré.

14. Terminons ces considérations relatives aux systèmes linéaires tracés sur une surface, en démontrant un théorème relatif aux systèmes linéaires irréductibles, ou à chacune des courbes du faisceau dans le cas où D — 0. Nous allons montrer que cette courbe irréductible ne peut avoir, en dehors de certains points

Jixes (points bases du système), de points multiples qui r’appartiennent pas aux lignes multiples de la surface.

Supposons le contraire, et considérons un faisceau linéaire arbitraire de courbes du système (L). Par hypothèse, les courbes irréductibles de ce faisceau devraient posséder des points muluiples variables décrivant une ligne C simple pour la surface S. Employons un mode de représentation analogue à celui employé au n° 12, mais dans laquelle, au lieu d’un faisceau auxiliaire, nous prendrons un réseau auxiliaire que nous pouvons supposer toujours tel que le système simplement infini de courbes de ce réseau passant par un point de la ligne © ne contienne pas, comme conséquence, d’autres points de cette courbe. À la surface S correspondra alors une surface S/: sur cette surface la courbe C aura pour image une courbe simple C; aux courbes du faisceau (L) correspondront des courbes planes intersections de S' avec des plans passant par une droite d, et, aux courbes du réseau correspondront des courbes planes intersections de S'avec des plans passant par un point. Par hypothèse, la surface S' serait telle que les sections planes passant par une droite auraient des points multiples variables en dehors des lignes multiples de la surface, sur une courbe simple C’, ce qui est impossible.

En effet, un point arbitraire P de C’, étant muluple pour une section plane déterminée sur S' par un plan passant par une droite d, a comme plan tangent le plan Pa. Mais la tangente au point P à C’, qui n’est pas située dans ce plan, coupe ce plan ; donc le point P est au moins un point double pour $', ce qui est contraire à l'hypothèse.

IV. — Du second genre (Curvengeschlecht) des surfaces algébriques, et du degré du système canonique.

15. Nous avons vu comment la considération des intégrales doubles de première espèce conduisait au genre géométrique d’une surface (Flächengeschlecht), introduit par Clebsch dans la théorie des surfaces algébriques. M. Noether (1) a appelé l’attention

(!) NoëTHer, Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens algebraischer Gebilde (Math. Annalen, t. VIII, p. 520).

206 CHAPITRE Vil.

sur un second nombre, jouissant du même caractère d’invariance, et qu’il a appelé le second genre de la surface où Curvengeschlecht. C'est de ce nombre que nous allons maintenant nous occuper. ;

Considérons le système linéaire formé par les adjointes d’ordre m— 4; comme nous l’avons dit (page 189), on l’appelle le système canonique, el nous emploierons indifféremment cette expression pour désigner le système linéaire de surfaces ou celui des courbes correspondantes sur f. Ce système linéaire de surfaces rencontre, en général, la surface f suivant une courbe mobile irréductible /, les autres courbes de rencontre étant des lignes fixes parmi lesquelles se trouvent les courbes multiples de la surface. En nous plaçant dans ce cas général, nous pouvons alors parler du genre de cette ligne mobile irréductible, c’est le genre de cette courbe que M. Noether appelle le second genre ou Curvengeschlecht de la surface.

On voit bien aisément, par la considération des intégrales doubles de première espèce, que ce nombre est un invariant, c’est-à-dire est le même pour deux surfaces qui se correspondent par une transformation birationnelle, comme nous en avons considéré au n° 7. Reprenons les deux surfaces de ce numéro