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se correspondant birationnellement, et désignons par

es Gitasgat...+ ApsQpe) AT dY à J:

l'intégrale double la plus générale de première espèce de la sur-

face f, les « étant des constantes arbitraires et les 4 les polynomes adjoints d'ordre »m — 4. Si l’on fait la substitution

æ = R;(X, Y, ZL), J = RAX, de ZL), = R3(X, Y, ZL),

celte intégrale double doit se transformer en une intégrale double de première espèce relative à la surface F, et qui est, par suite,

ES Qi+ a Q 0 +.. «+ Apz Qpe) 4X dY à FE

les Q étant des polynomes adjoints d'ordre M — 4 relatifs à la surface F que nous supposons de degré M. On aura donc une identité de la forme

%191(2, Y, 3) +... + appe(T: J3 4) = pCX, Y, Z [as Q1CX, Y, Z)+...+ a, OQ,,(X, Y, Z)],

2 étant une fonction rationnelle de X, Y, Z, ne dépendant que de la transformation, et nullement des paramètres 4; son expression est évidemment

= 2 DCRr Ro)

PEN Re ah'ert et dans le déterminant fonctionnel on doit considérer 3, R, et R; comme fonctions de X et ŸY. De là résulte évidemment que la courbe mobile / d’intersection de la surface adjointe

d'ordre mm — 4 Xi + LI... + Xpe I pz — Oo

avec f a pour correspondante, par la transformation, la courbe mobile L d’intersection de la surface adjointe d’ordre M — 4

a Qi + Qo+...+ ap, Qpe = 0

avec la surface F. Les deux courbes let L se correspondent ainsi point par point et, par suite, elles ont même genre; le second genre est donc le même pour deux surfaces se correspondant point par point, comme nous l'avons énoncé plus haut. Nous désignerons le second genre (!) par pt).

16. Deux circonstances différentes peuvent se présenter relativement aux surfaces adjointes d’ordre mn — 4. La surface adjointe générale de cet ordre peut ne passer par aucun point fixe ou aucune courbe fixe de la surface en dehors de certains points multiples ou des courbes multiples de la surface. C'est ce qui arrive, peut-on dire, le plus souvent; ainsi, pour la surface générale d'ordre m, les adjointes d'ordre m — 4, qui sont des surfaces

(*) On ne confondra pas cet invariant p() et l’invariant p() qui va être introduit dans un moment avec les deux nombres p, et p, antérieurement considérés et relatifs à la Géométrie de situation.

208 CHAPITRE VIH.

quelconques de cet ordre, ne passent nécessairement par aucun point fixe de la surface. Mais une autre circonstance peut se rencontrer; il peut arriver que toutes les adjointes d'ordre » — 4 passent nécessairement par certains points simples de la surface ou par certaines courbes simples de la surface. Il y a dans cette circonstance, comme nous aurons bientôt l’occasion de le voir, une source de complications assez sérieuses pour la généralité des énoncés de certains théorèmes.

Donnons un exemple de l’une et l’autre des circonstances indiquées. Une surface du cinquième ordre peut avoir deux points triples ; la droite D qui les joint appartient alors nécessairement à la surface. Les adjointes sont ici des plans passant par les deux points triples ; elles passent par la droite D.

Considérons en second lieu, avec M. Enriques, une surface du cinquième ordre avec deux points doubles À et B qui soient des tacnodes ; il est aisé de voir que cette circonstance est réalisable. La droite AB percera la surface en un autre point C; toutes les adjointes d'ordre wn sont des plans passant par AB, elles passent donc par le point OC, et nous avons ainsi un exemple d’une surface d'ordre »m pour laquelle toutes les adjointes d'ordre m — 4 passent par un même point simple de la surface.

17. On a supposé expressément, dans la définition de p(1), que la ligne mobile / d’intersection de la surface avec une adjointe d'ordre »m — 4 était une courbe irréductible. Dans l’hypothèse contraire, la définition de pi! n’a aucun sens. D’après le théorème du n° 13, si la courbe / n’est pas irréductible, elle se composera des courbes d’un faisceau, et le nombre de ces courbes sera au moins égal à

PE

M. Noether a établi que ces courbes sont en général de genre un. Ilen sera certainement ainsi quand on ne se trouvera pas dans les circonstances spéciales signalées au numéro précédent; il peut y avoir exception pour ces cas particuliers. Nous ne sommes pas en mesure de donner maintenant la démonstration de ce théorème ; nous la renverrons au Chapitre suivant comme application des diverses généralités que nous allons développer sur la théorie des

courbes gauches.

Indiquons seulement un exemple particulier où la courbe L est réductible. Reprenons à cet effet les surfaces considérées au n° 9, en supposant que le genre p' de la courbe

OMS u') —10,

soit égal à l’unité. La partie variable de l’intersection de !a surface avec le système canonique sera alors donnée par l'équation

dy Pa(À, m)+...+ ap Ph(À, H)=0,

équation qui, avec

PACY ut) = 9,

donnera 2p — 2 systèmes de valeurs (À, 4). On aura donc, comme partie variable de l'intersection, un faisceau de

2pP = 7) courbes du genre un.

18. Nous donnerons encore la définition d’un autre nombre invariant introduit par M. Noether dans la théorie des surfaces algébriques, en même temps que p(). Ce nouvel invariant est le degré du système canonique, en entendant par degré d’un système linéaire, comme dans la Section précédente, le nombre des points de rencontre mobiles de deux courbes /. Désignons ce degré par p®); les courbes / jouissant de la propriété d’invariance, il en est évidemment de même de leurs points de rencontre mobiles. Nous avons donc bien un nombre énvariant, c’est-à-dire un nombre qui reste le même pour deux surfaces se correspondant point par point. Îl est d’ailleurs bien entendu que pl? n’a, comme p(1), de sens que si la ligne /, intersection mobile du système canonique avec la surface, est irréductible. Il faut aussi que pg soit supérieur à l’unité; pour p, = 2, on aura p® — 0.

M. Noether a établi que l’on avait

de sorte que l’on n’a pas, en réalité, un nouvel invariant; cette conclusion suppose toutefois que l’on ne se trouve pas dans les cas spéciaux du n° 16 : on peut alors avoir simplement l’inégalité

p? < p Er P. ETS. u

Nous nous bornons ici à ces énoncés, qui seront justifiés dans le Chapitre suivant; mais, quitte à renvoyer à un Chapitre ultérieur la démonstration de quelques points particuliers, nous avons tenu à introduire ensemble dans ce Chapitre les trois

nombres fondamentaux Pr POP,

particulièrement étudiés par M. Noether.

19. Terminons ce Chapitre par une remarque générale sur la transformation d’une surface f au moyen de ses surfaces adjointes d'ordre m— 4. Plaçons-nous dans le cas général où le système canonique est un système linéaire simple (au sens de la Section précédente), et soit

PgZi-

Prenons alors quatre polynomes adjoints quelconques d'ordre m — À

que nous assujettirons seulement à passer par p, — 4 points pris arbitrairement sur la surface.

Nous pouvons nous servir de ces polynomes pour faire, comme au n° 12, une transformation de la surface; on posera

Nous aurons ainsi une surface F qui correspondra point par point à la surface f; son degré sera égal au degré du système linéaire

(L) di Qi + d2 Qo + d3Q3 + a, Q; = 0,

c’est-à-dire à M = pa — ps + 4.

On peut donc transformer birationnellement la surface f en une surface de degré M; c’est là un théorème tout à fait analogue à la proposition de la théorie des courbes algébriques, d’après laquelle une courbe plane de genre p peut (sauf le cas hyperelliptique) être transformée en une courbe de degré p +1.

Les sections planes de la surface F correspondent aux courbes du système linéaire (L); elles seront donc de genre pl).

Pour indiquer un exemple, considérons une surface du septième degré avec une conique triple C et un point triple isolé A. Les adjointes du troisième degré, que nous avons à considérer, se composent des surfaces du troisième degré ayant C pour conique double et passant par le point A. Ces surfaces se décomposent nécessairement et sont formées du plan de la conique et d’une quadrique passant par C et par À; on aura donc

Pg= À.

On aici TE,

comme on le voit, en considérant la conique intersection de deux quadriques passant par C. Elle a quatorze points de rencontre avec la surface; or, deux de ces points sont sur C, et chacun d'eux compte pour trois, un autre est en À et compte également pour trois; on aura donc seulement cinq points de rencontre mobiles. D’après ce qui a été dit ci-dessus, la surface considérée du septième ordre correspond point par point à une surface du cinquième ordre.

SUR LES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES ET LA FOR- MULE SUSCEPTIBLE DE DONNER LE GENRE D’UNE SUR-