FACE

I. — Quelques formules relatives aux courbes gauches algébriques; surfaces adjointes à une courbe gauche.

1. Avant d'étudier les surfaces passant par une courbe gauche, nous avons besoin de rappeler quelques théorèmes et formules relatifs aux courbes gauches (1). Nous nous limiterons essentiellement aux parties qui nous seront utiles pour la théorie des surfaces algébriques.

Une courbe gauche algébrique C est dite d’ordre ou de degré m, si sa perspective prise d’un point arbitraire de l’espace sur un plan quelconque est une courbe algébrique d'ordre m. Si l’on suppose cette perspective faite parallèlement à l’axe des z, on aura évidemment pour tous les points de la courbe

f représentant une courbe plane irréductible d'ordre m, et vel d

[] élant des polynomes en x et y de degrés respectifs » et » —1, tels que la courbe © — 0 passe par les points d’intersection de f=oetd—o. Telle est la représentation employée par Cayley pour une courbe gauche. Les deux équations précédentes ne sont pas vérifiées seulement par la courbe, mais par un certain nombre

() On trouvera dans la Géométrie à trois dimensions, de Salmon, la bibliographie des travaux de Cayley et de Salmon sur les courbes gauches algébriques. Deux Mémoires considérables sur ce sujet ont été publiés en 1882; ce sont les travaux d’'Halphen (Journal de l’École Polytechnique, 1882) et de Noether (Mémoires de l’Académie de Berlin, 1882).

de droites parallèles à Oz, qui correspondent aux solutions communes aux trois équations f — 0, 9 — 0, —0.

Le fait que toute courbe gauche devient ainsi, par l’adjonction de lignes droites, l'intersection complète de deux surfaces, rend évidente cette propriété, souvent admise sans démonstration, qu'une courbe gauche de degré m rencontre en my. points une surface d'ordre LL.

Au lieu de la représentation de Cayley on peut se servir d’une représentation paramétrique. Îl est possible de faire correspondre uniformément les points d’une courbe gauche à ceux d’une courbe

plane o(6, n)=0.

On aura alors pour un point arbitraire (x, y, 3) de la courbe gauche æ = R(6, 1), Y = RE, ñ), 2 = R;(6, n),

les R étant rationnelles en (£, 1). On peut supposer, en effectuant une transformation homographique arbitraire, que les trois fonctions rationnelles R ont les mêmes pôles sur la surface de Riemann définie par l'équation z — o et que ces pôles sont simples. Si fr est leur nombre, le degré de la courbe gauche sera égal à y, comme on le voit de suite en cherchant l'intersection de la courbe avec un plan quelconque.

Ces généralités indiquées, nous allons considérer une courbe gauche C d’ordre m, n'ayant d’autres singularités qu’un certain nombre £ de points triples à tangentes distinctes. Deux nombres: jouent un rôle important dans l'étude des courbes gauches. Le premier est le nombre L des sécantes doubles de la courbe passant par un point arbitraire A de l’espace; dans ce nombre L ne figurent pas les droites passant par À et les points triples de Ja courbe; on appelle L le nombre des points doubles apparents de la courbe. Le second est le rang r de la courbe, c’est-à-dire le degré de la développable formée par les tangentes à la courbe gauche. I est facile d’avoir l'expression de r à l’aide de m,h et. Considérons, en effet, le cône ayant pour sommet À et pour direc-

trice la courbe; la classe de ce cône sera égale à r, car, par une

droite arbitraire D passant par À, on peut mener autant de plans tangents à ce cône qu'il y a de tangentes à la courbe rencontrant D ; on a donc, d’après la formule de Plücker relative à la classe,

puisqu’une section plane du cône est une courbe de degré me avec À points doubles et # points triples.

9. Considérons, en particulier, le cas où C est l'intersection complète de deux surfaces

de degrés u et v. Nous nous plaçons d’ailleurs dans le cas le plus général correspondant aux hypothèses faites sur la nature de la courbe. Par suite, si C avait un point triple, les deux surfaces auraient chacune un point conique ordinaire en ce point, et il y aurait pour l'intersection de f et © quatre branches de courbes passant par ce point; la courbe C ne serait pas alors intersection complète. Nous devons donc, dans cette hypothèse, considérer une courbe sans points triples. Pour calculer r et k, on peut procéder de diverses manières; commençons par le calcul de r. Soient

X fr + Yf,+Lfi+fi=o,

et 47 air " Xor+Ye,+Ze+o

(eo)

les équations d’une tangente à la courbe C intersection de fet o.

Nous avons à chercher le nombre de ces tangentes rencontrant une droite arbitraire