OT

En éliminant À entre ces équations, on a une équation qui, on le vérifie aisément, est de degré

(pm —1)(Y —:1)

en (x',y', 3). Donc, pour (x, y, z) donné arbitrairement dans l’espace, on aura uv(u—1)(v —1)

valeurs de (x!, y', 3!) correspondant à des points de C (qui est de degré uv), telles que la droite joignant (x,y, 4) et (x', y’, z')

rencontre la courbe en un second point. Par suite

uv (pe —1)(v —1) à 2

comme nous l’avions trouvé plus haut.

3. Supposons maintenant que la courbe C de degré m soit seulement l'intersection partielle de deux surfaces de degrés x et y; désignons par C la courbe complémentaire d’intersection dont m/ désignera le degré : on a

m+m'= py.

Si la courbe C à un point triple, la courbe C’ passera par ce point triple, qui sera pour elle un point simple dans les circonstances générales où nous nous placons. Revenons à la surface (1) considérée au numéro précédent. Les

points de rencontre de cette surface avec la courbe Cse composent des points de rencontre de r tangentes de la courbe avec la droite arbitraire; mais, de plus, la surface (1) passe par les points de rencontre de C et de C’, puisqu’en ces points les deux surfaces f et © sont langentes et que, par suite, les dérivées premières de f et w sont proportionnelles. Soit 6 le nombre des points de rencontre de C et de C/ en dehors des points triples de C; d’autre

part, la surface (1) passe par les £ points triples de Cet a ces points pour points doubles. On a donc

Mmip+v—2)=r +0 +66,

formule qui va nous être utile dans un moment.

4. Nous pouvons maintenant définir les surfaces adjointes à une courbe gauche. Soit toujours la courbe gauche C, et considérons comme ci-dessus deux surfaces f et e de degrés respectivement égaux à {4 et y passant par cette courbe gauche. Ces surfaces

auront en commun une seconde courbe C!. Envisageons une surface X arbitraire de degré

HV — 4,

passant par C/et ayant comme points doubles les #4 points triples de C. Cherchons quel va être le nombre des points de rencontre de la surface Y avec C, en dehors des £ points triples et des 0 autres points communs à C et à C/. Ce nombre sera égal à

Mm(u+v—4)—0—6Geé, ou, d’après la formule du numéro précédent, à M(U+V—4)—m(U+V—2)+r,

c'est-à-dire pit.

Or, le rang de C est donné (n° 1) par

r=mMm(m—i)—2h —6t.

On aura donc pour le nombre cherché m(m—3)—2h—6Gt=(m—1(m—2)—2h—6E— 2,

nombre qui est égal à 2p — 2,

en désignant par p le genre de la courbe gauche de C, c’est-à-dire le genre de sa perspective sur un plan arbitraire et d’un point de vue arbitraire. La surface Y considérée rencontre donc la courbe C en 2p — 2 points en dehors des points communs à C et à C!.

On donne aux surfaces X le nom de surfaces adyointes à la courbe gauche C; il y a, comme on voit, un très grand degré d’arbitraire dans leur définition, puisqu'on peut prendre arbitraïrement les surfaces f et & passant par C. Ces surfaces adjointes rappellent les courbes adjointes d'ordre m —3 dans la théorie des courbes algébriques par cette propriété remarquable d’avoir, en dehors de certains points assignables & priori, un nombre 2p — 2 de points de rencontre avec la courbe, en désignant par p le genre de la courbe (!).

(:) La notion de surface adjointe à une courbe gauche est due à M. Noether (Math. Annalen, t. VIT, p. 510). M. Noether ne démontre passeulement qu’une surface arbitraire 2 passant par C' rencontre C en 2p — 2 points; il établit de plus que ce groupe de 2p — 2 points sur la courbe C dépend de p—1x arbitraires. Nous n’aurons pas besoin, dans la suite, de ce dernier point, dont la démonstration est assez délicate.

Comme exemple, prenons le cas général où C serait l'intersection complète de deux surfaces f et # d'ordre y et y; une surface arbitraire d’ordre u + y — 4 est alors une surface adjointe de Ce

On a bien

2p—2—=pY(p+v—4#4),

p étant le genre de la courbe C. On peut le vérifier, si l’on veut, avec les formules du n° 2, puisque

(uv = 1) CU TER EUS 2 2

5. On peut présenter d’une manière plus large la définition des surfaces adjointes à une courbe gauche en se plaçant dans le cas plus général où les deux surfaces f et # auraient la courbe Cou d'une manière plus générale, les courbes C’, si la courbe désignée par C/ se décompose, comme courbes multiples d’un degré quelconque de multiplicité. On doit supposer que la surface d'ordre u—+y— 4, passant par les courbes C', se comporte d’une manière convenable aux points de rencontre des courbes C'avec C. On évitera toute difficulté en considérant la surface S

ln A4 @& D AV AE Cf a}

(S) di 1 2 ! 0; 1e y “> £

ER NEUNC

déjà envisagée au n° 2. Cette surface S est de degré u + y — 2, et elle se comporte d’une certaine manière aux points &, chacun de ces points comptant pour un nombre déterminé d’unités dans l’évaluation du nombre des points de rencontre de S avec C. Or, supposons maintenant que l’on considère une surface Y, d’ordre U + y ment à son intersection avec C en ces points «, comme la surface S. Une telle surface È aura, en dehors des «, un certain nombre de points de rencontre qu’il est facile d'évaluer. En effet, le nombre des points de rencontre de S avec C est, en dehors des points 4, égal à r; par suite, en désignant par @ la part des points a dans l'évaluation du nombre des points de rencontre de C avec SAONE

4, passant par les points 4, et se comportant, relative-

MIU+V—2)=r+a.

Pour la surface Y, le nombre des points de rencontre en dehors

des « sera m(u+v—4)—a,

d'après l'hypothèse faite sur la manière dont E se comporte aux points &. On aura donc, pour le nombre cherché,

L x ï c'est-à-dire 2p — 2. Nous retombons donc sur le même résultat que plus haut, en envisageant les surfaces adjointes à la courbe gauche sous un point de vue plus général.

II. — Sur une relation entre les invariants pli) et pl) d’une surface algébrique.

6. Nous ferons de suite une application de la notion des surfaces adjointes à une courbe gauche, en démontrant un résultat relatif aux invariants pl!) et p(?) définis au Chapitre précédent. Nous considérons l’adjointe générale Q d’ordre m — 4 d'une surface f de degré m, et nous nous plaçons dans le cas où la partie variable / de l'intersection de Q avec f est irréductible.

Supposons d’abord, comme il arrivera en général, que l’adjointe générale Q n’ait aucune partie fixe commune avec f en dehors des lignes multiples et des points multiples isolés de la surface. Si donc nous nous bornons au cas des singularités que nous appelons ordinaires, nous supposerons que la seule ligne commune à f et à toutes les surfaces du système canonique est la ligne double de la surface. Envisageons une ligne déterminée, d’ailleurs quelconque, ls, intersection partielle de f avec une certaine adjointe Q4. Les surfaces adjointes à la courbe /, sont d'ordre

Mm+m—i—h = 2m —8.

Les points triples de la courbe double, si elle en a, ne présenteront aucune particularité, car la ligne /, ne passe pas en général par ces points. Les points & de rencontre de /, avec la courbe double devront compter pour deux dans l’évaluation du nombre des points de rencontre de /, avec ses surfaces adjointes; on vérifie en effet facilement que la surface (S) du n° 5 est tangente en

un point & à la nappe de la surface passant par ce point qui contient la ligne /. Ceci posé, parmi les surfaces adjointes à Lb

se trouvent les surfaces (2) D'ASr0707—10

(les À étant des constantes), Q; et Qx étant deux polynomes adjoints du système canonique. En particulier, la surface décom-

posable

Q:Q% = 0 peut jouer le rôle d’une surface adjointe à la ligne /,. Le nombre des points de rencontre de cette surface avec l, en dehors de la courbe double, et, par conséquent, le nombre des points de rencontre variables avec les A de la surface (2) sera

2 pl)

puisqu'il y a p(®) points pour chacune des surfaces Q; et Q4. Mais nous savons, d’autre part, d’après le numéro précédent, que ce

nombre est égal à 2p — 9.

On à, par suite, la relation importante (') p®? = p — 1

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que toutes les adjointes Q ne passent pas par un même point simple ou n’ont pas en commun une même ligne simple À de la surface. Prenons d’abord le premier de ces cas particuliers. Les points simples isolés communs à toutes les surfaces Q figureront parmi les

2 pu) — 2

points de rencontre de /, avec une surface adjointe à cette courbe; ils ne seront pas compris, au contraire, parmi les

2 pl?)

points de rencontre (variables avec les À) de la surface (2) avec 4,.

() Cette relation est due à M. Noether (Math. Annalen, t. VII, p. 521); les cas d'exception qui vont être signalés ont été indiqués par MM. Castelnuovo et Enriques (Math. Annalen, t. XLVIIL, p. 287).

On aura donc

2 pa) € 2 pu) — 2 el, par suite,

PA € pr.

S'il y avait une ligne simple À qui rencontrât /, en dehors de la ligne multiple, un point de rencontre 8 ne compterait pas parmi les > p(1)— 2 points variables de rencontre de /, avec une de ses adjointes, et il compterait seulement pour wn dans le nombre total des points de rencontre de /, avec cette dernière surface. Pour la surface (2), le point $ compte pour deux dans le nombre total des points de rencontre de cette surface avec 4. Par conséquent, les 2p(?) points de rencontre variables de (2) avec 4, sont en nombre inférieur à 2p(1)— 2, et l’on retombe encore sur l’iné-

galtté p°? < pv TL.

qui remplace l'égalité de Noether dans le cas particulier indiqué.

Un exemple de cette dernière circonstance nous sera fourni par la surface déjà considérée du cinquième degré possédant deux

tacnodes (Chap. VIF, n° 16). On a pour cette surface p® — 0}

puisque les adjointes d’ordre »m — 4 sont ici des plans pivotant autour de la droite joignant les tacnodes, et que ces sections sont alors des courbes du cinquième degré ayant deux points doubles aux points où la courbe a un contact avec elle-même (points équivalents à deux points doubles ordinaires). On a, d’autre part, évidemment Pp®= 0,

et, par suite, on à l'inégalité ci-dessus et non l'égalité. Nous sommes dans le cas où il existe un point simple commun à toutes les adjointes Q; c’est le point où la droite joignant les tacnodes

rencontre la surface.

Dans l’exemple donné (loc. cit.) d’une surface du cinquième

degré avec deux points triples, on à

PV =, P? =,

et l'égalité est vérifiée ; il y a bien ici une ligne À (la droite joignant les deux points triples), mais la ligne / ne rencontre pas À en dehors des points multiples.

Reprenons pareillement l'exemple également considéré antérieurement, d'une surface du septième ordre avec une conique triple et un point triple isolé. On avait alors

Il y a ici une droite simple par laquelle passent toutes les adjointes d'ordre trois, mais il est visible que les lignes / ne rencontrent pas cette droite : on aura donc

p? — pu) — 1,

et, par suite, po = 6.

7. Nous avons, dans le numéro précédent, considéré le cas où la courbe variable d’intersection / de la surface f avec le système canonique est irréductible. Voyons ce que l’on pourrait dire dans le cas où la ligne / serait décomposable. D’après un théorème général du Chapitre précédent (n° 13), nous savons que la ligne / se composera des courbes d’un faisceau, et ces courbes seront en

nombre au moins égal à Ps ar

On peut établir que, si nous ne sommes pas dans le cas exceptionnel visé plus haut où toutes les surfaces du système canonique passent par certains éléments simples de f, toutes ces courbes sont de genre un. Prenons une de ces courbes, soit C; on peut encore considérer comme surfaces adjointes à la courbe C la surface

(a Q:+ ax Qx)Qz= 0;

mais celte surface n’a aucun point commun avec C puisque par un point simple de la surface ne passe qu’une courbe du faisceau. Le nombre 2p(1) — 2 se réduit done à zéro, et l’on a

Quant au nombre des courbes C, il est au moins égal à pe — 1; il peut lui être supérieur, comme le montre l'exemple du n° 17 du Chapitre précédent.

La conclusion p(f)— 1 peut être inexacte, si l’on se trouve dans le cas exceptionnel. L'exemple, déjà plusieurs fois considéré d’une surface du cinquième degré avec deux tacnodes, suffit à le montrer. Nous avions alors p,— 2 et, par suite, un faisceau linéaire; nous avons vu que l’on avait pl) — ».

Il à été implicitement supposé, dans tout ce qui précède, que Pz était supérieur à un. Quand p, — 1, on aura une seule adjointe

La courbe d’intersection / de Q, avec la surface, en dehors de la ligne double, étant supposée irréduetible, il arrive, dans bien des cas, que cette courbe est unicursale. Mais l'exemple suivant, indiqué par M. Castelnuovo, montre que cette conclusion n’est pas nécessaire.

Considérons, en effet, une surface du cinquième ordre passant par une section conique, et ayant trois tacnodes À, B, C situés sur cette courbe. Cette surface n’a qu’une seule surface adjointe d'ordre mm — 4, à savoir le plan ABC, puisque l’ordre des surfaces adjointes est ici égal à 5 — 4 —1, et qu’elles doivent passer par les trois points A, B, C. L’intersection du plan ABC avec la surface se compose de la section conique et d’une cubique passant par le point A, B, C, considérés comme simples, et cette dernière courbe, ayant un genre plus grand que zéro, n’est pas unicursale.

III. — Sur le nombre des conditions exprimant qu’une surface passe par une courbe gauche.

8. La recherche du nombre des conditions exprimant qu'une surface algébrique de degré donné passe par une courbe gauche donnée présente d’assez grandes difficultés. Commençons par démontrer un théorème qui fera connaître une limite supérieure pour ce nombre de conditions.

Reprenons, à cet effet, la représentation paramétrique indiquée au n° À. Nous aurons, pour la courbe gauche,

,1)=0, (d’un degré À et d’un genre p),

halte, n}) J = Ré, n), 3 = R;(6,n),

les R étant des fonctions rationnelles de (£,) ayant d pôles

simples communs sur la surface de Riemann +; la courbe gauche sera de genre p et de degré d.

Soit un polynome arbitraire F(x,7, z) de degré m en x, y, £; substituons dans F à x, y, 3 les valeurs précédentes. L'expression

devient alors une fonction rationnelle de (£,n) avec d pôles d'ordre m, ce qui équivaut à md pôles simples. Or le nombre des arbitraires figurant dans une fonction rationnelle ayant md pôles donnés est, d’après le théorème de Riemann-Roch,

md — p+s+i1,

s désignant le nombre des adjointes d'ordre À — 3 passant par les md pôles. Par suite, si md > 2p — 02, 5 sera nécessairement nul, et le nombre des arbitraires sera k = md — p +1.

L'expression F pourra alors se mettre sous la forme

ai Ji + Go + + And},

les J étant des fonctions rationnelles déterminées de (£,1n), les « dépendant des coefficients du polynome F : si l’on veut que la surface

Fr 222)

passe par la courbe gauche, il faudra que Xi — 0, 3 — O0, F4: Eh — 10:

On aura donc un nombre de conditions égal à 2, ou à un nombre

moindre, s’il se trouvait que ces équations ne soient pas distinctes. Nous arrivons ainsi à la conclusion suivante :

Le nombre des conditions N,, exprimant qu'une surface de degré m passe par une courbe gauche de degré d et de genre p, est au plus égal à

md — p +1,

en supposant que l’on ait

md > 2p —».

9. Le théorème précédent ne donne qu'une limite supérieure. Dans des cas très étendus, cette limite supérieure représente le nombre véritable. Bornons-nous, pour le moment, au cas où la courbe gauche n’a aucun point multiple; on peut alors affirmer

que

Nn= md—p +1,

st, la courbe gauche étant donnée, le nombre m est pris suffisamment grand.

La démonstration de ce théorème est assez délicate. Nous allons d'abord examiner le cas particulier où la courbe serait l’intersection complète de deux surfaces

W=00, CAC

f étant de degré y et © de degré y. Deux circonstances sont à examiner suivant que 72 est inférieur ou supérieur à + v; soit

d’abord

Mm=p+v— 0.

D’après un théorème dont nous avons déjà plusieurs fois fait usage, toute surface passant par l'intersection de f et © a son

équation de la forme DO 0;

u étant de degré y — à, et e de degré — à. Le nombre des arbitraires figurant dans l’équation de la surface est donc au plus

égal à (u—è+r(u—d+2)(u—5+3) A 6 OO EDEN VEEUE ES)

Par suite le nombre N,, des conditions exprimant qu’une surface de degré m passe par la courbe est au moins égal à

(uv —è+i)(u+v—d+ao)(u+v—ù+3)

et, en réduisant cette expression, on trouve

I + — HY(U+v—20 +4) A

PARrRNS: 19

Or il est facile d'évaluer le genre p de la courbe, puisque (n° 2) le nombre des points doubles apparents est égal à