ÉD
md — p +1+ G
et nous trouvons ainsi no eD)(o=R) :
Nn2md—p+i1=
Supposons maintenant que 2 soit supérieur à {4 + Y, soit Mm=U+Y + Les surfaces, passant par la courbe, sont toujours de la forme uf + vo —= 0.
u étant de degré » + d, et » de degré x +35. Mais on peut remplacer uw par u + ww, et 6 par 6 — wf, le polynome w étant de degré ©; le nombre des arbitraires figurant dans l'équation de la surface est alors au plus
CORNE IEEE Pt TEE
NÉPEMICEME D) TE NES) (9 + 1)(0 + 9)(d + 3)
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et la différence
Ë (UEMEDEND UE ELEC) TE Eee (E) l )0t . )C Û Lee a’
représente le minimum du nombre N, cherché des conditions, pour qu'une surface de degré m passe par la courbe; cette expression se réduit 1e1 à
md — p +1, el l’on aura par suite
(2) Ny 2 md—p+it.
Nous concluons de l'analyse précédente que l’inégalité (2) a
SUR LES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES. 227 lieu pour les surfaces de degré supérieur à LES
Mais, d’autre part, nous savons, d’après le numéro précédent, que l’on a
(3) Nn=md—p+i, dans le cas où (4) md > 2p— 0.
Or, en posant m—u + y + à, l'inégalité précédente donne
PORN 0) uvt)Quv 2) —u(u— 1) A);
qui se réduit à D —# Par conséquent, la condition (4) sera vérifiée pour les surfaces de degré supérieur à 4 + y— 4, et nous pouvons déduire des inégalités (2) et (3) Nn = md — p +1,
dans le cas où Mm2p+v—3.
Le théorème énoncé est donc démontré pour le cas particulier considéré, et nous avons une limite du nombre m.
10. Examinons maintenant le cas où la courbe C n’est pas l'intersection complète de deux surfaces, et supposons qu’on puisse faire passer, par la courbe C, deux surfaces de degré u et, l'intersection de ces surfaces se complétant par une courbe irréductible C’ sans point singulier, dont nous désignerons le degré par d'. Envisageons une surface arbitraire Ÿ, passant par OC, et de degré m supérieur à 1 + y — 4. Une telle surface coupe C, en dehors des Ü points communs à Cet à C’, en un nombre de points égal à
d'[m—(u+ys—4{)]+2p—o,
comme il résulte de suite des considérations présentées au n° 5. Les surfaces È? déterminent donc sur C/ un groupe linéaire de points dont le nombre est égal à l'expression précédente, et ce
groupe de points dépend, d’après un corollaire du théorème de Riemann-Roch (!), au plus de
d'Im—(u+v—4)]+p'— 2 constantes arbitraires. Le nombre des conditions pour qu’une surface X, passant par C, passe aussi par C sera donc au plus égal à
car, si l’on fait passer la surface È par des points arbitraires de C en nombre égal à ce dernier nombre, la surface devra contenir C’ puisque le groupe des points de rencontre dépend d’une arbitraire de moins.
Ceci posé, le nombre des conditions pour qu’une surface £, de
degré m, passe par C est fe) ,
md — p+i—e (20);
(*) Le corollaire du théorème de Riemann-Roch dont nous nous servons ici est le suivant. Soit considéré sur une courbe C un groupe linéaire de points variables en nombre p (> 2p — 2); l’ordre de ce groupe, c’est-à-dire le nombre des points qui peuvent être pris arbitrairement dans un groupe, est au plus égal à mu — p. On peut d’ailleurs démontrer directement ce résultat en le rattachant au théorème d’Abel. Supposons, en effet, que l’ordre du groupe soit supérieur à u — p, par exemple soit égal à p — p +71; prenons sur la courbe p points arbitraires APPAAPEE À. Par ces points on peut faire passer au moins une courbe du système linéaire, puisque
DEEE
cette: courbe rencontrera C en un certain nombre de points B (en dehors des points bases du système linéaire) égal à & — p, et comme
He Du por,
on pourra, par les points B, faire passer une courbe du système linéaire dépendant d’au moins un paramètre. Appliquons alors aux p points de rencontre vyariables de cette courbe avec la courbe G le théorème d’Abel; nous aurons, en appelant ces points (æ,,71); ..*, (TZ Jo
Q;(&s 71) dr +...+Q:(2,7,) dx, = (o) (ET 3 5 0}
les Q étant les adjointes relatives aux intégrales de première espèce. Mais des égalités précédentes on conclut que le déterminant
1Q;:(Ty Ya) COTES AE 0)
est nul, ce qui est absurde puisqu’une position particulière des P points coïncide avec les À pris arbitrairement au début.
d'autre part, le nombre des conditions pour qu'une surface de
degré m, passant déjà par C, passe par C'est, comme nous venons de le voir,
d'Im—(u+v—4)]+p—1—e:, 0) On suppose d’ailleurs que l’on a les deux inégalités md > 2p—2, MD R+HV—4.
Le nombre des conditions pour qu’une surface de degré m passe par Cet C’est donc représenté par l'expression
fi
6) md—p+i+d'[m—(n+v—4)]+p—1-e—e.
Mais nous savons (n° 9) que le nombre des conditions pour qu’une surface de degré 7» passe par l'intersection de deux surfaces de degrés respectifs & et y a pour minimum l'expression E du numéro précédent : ce nombre est, par suite, égal à
BY HV — 4) 2
(6) UN mm —
ns (n2o).
Nous devons donc égaler (5) et (6), ce qui donne, en se rappelant que d + d'=— y,
Uv(U + v— 4)
d'(p+v—{)+p—pz=s+e +n.
Or il est facile d’avoir la valeur du premier membre; sir et A désignent le rang de la courbe C/ et le nombre de ses points le) le) doubles apparents, comme r el À désignent les mêmes nombres PP 5 pour la courbe C, on a
r = d(d—1) — 2, r'=d'(d'—1)—2}h, ou r=2(d—1)+2p, r'=2(d'—1)+2p"; donc r—r=2(d—d')+2(p — p').
Mais des égalités obtenues au n° 3,
d(u+v—2)=r+0, d'(p+v—2)=r +0, on déduit r—r=(d—d'\(pu+v—o2);
donc (p—p)=(d—d'\p+v—6é),
et le premier membre de l'équation (7) se réduit à
UV CH Æ y 6) lotus) CES
= 2 c’est-à-dire à zéro. On a, par suite,
e+e+n —=0, d’où nous concluons enfin
