EE 1 —=O

puisque ces trois quantités sont positives. Le nombre des conditions pour qu'une surface È de degré m passe par la courbe considérée G est donc représenté exactement par

md — p +1.

On suppose, bien entendu, remplies les conditions du commencement de ce numéro, c’est-à-dire que C est une partie de l'intersection de deux surfaces de degré x et v, cette intersection se complétant par une courbe érréductible C', et de plus » satsfait aux deux inégalités

md > 2p — 0, NM>E+V— A4.

Nous voyons donc que, pour m suffisamment grand, on a exactement le nombre cherché de conditions (1).

11. Nous allons indiquer une autre méthode pour établir le théorème précédent; elle donnera, dans bien des cas, une limite de m supérieure à celle que nous venons de trouver, mais elle a

l'avantage d’être plus rapide. Nous l’empruntons à un Mémoire de M. Castelnuovo (?).

(*) M. Noether énonce et démontre rapidement le résultat précédent à la p. 46 de son Mémoire cité plus haut sur les courbes gauches (Mémoires de l'Académie de Berlin, 1882); quelques points de la démonstration nous ayant paru avoir besoin de développements, nous avons suivi une tout autre voie.

(*) G. CASTELNUOVO, Sui multipli di una serie lineare di gruppi di punti

appartenente ad una curva algebricha (Rendiconti del circolo mathematico di Palermo, 1893).

Prenons un point de vue arbitraire et projetons la courbé gauche C sur un plan quelconque ; la perspective sera une courbe F ayant A points doubles correspondant aux couples de points (ai, @»), (D, 2), ..., de la courbe C. Considérons les adjointes d'ordre X à F, c’est-à-dire les courbes d’ordre Æ passant par les À points doubles (2 d— 2); ces adjointes rencontrent, en dehors des points doubles, la courbe F en