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points variables, et l’on sait que l’ordre de ce groupe de points

est égal à kd— 2h — p,

c’est-à-dire que, parmi les kd — 2h points, on peut en prendre arbitrairement Æd— 2h — p, les p autres étant déterminés par ceux-ci. On a alors un ensemble correspondant de cônes d’ordre Æ ayant pour sommet le centre de projection, et pour directrices les adjointes d'ordre Æ àT.

Considérons, d’autre part, intersection de la courbe avec une surface quelconque d’ordre Æ(Æ2 d — 2) passant par les 2 L points (@&i, &>), (b1, 02), .-... Nous aurons Æd — 2h points en dehors des points fixes.

Cet ensemble de points dépend d’au moins

kd—2h—p

arbitraires, puisque les cônes considérés ci-dessus font partie des surfaces qui nous occupent; d’autre part, le nombre des arbitraires, dans l’ensemble de points, ne peut pas dépendre de plus de Æd— 2 h — p arbitraires, d’après la remarque dont nous avons déjà fait usage au n° 10 (worr la note).

Ainsi donc le groupe de points variables, détachés sur la courbe C par toutes les surfaces passant par les points (&;, &), (b,, b:), ..…, dépend exactement de Æd — 2h — p arbitraires, c’està-dire que Æd — 2h — p de ces points peuvent être pris arbitrairement, la position des autres en résultant.

Nous allons déduire de là le nombre de constantes arbitraires dont dépend réellement le groupe de points détaché sur la courbe C par l’ensemble des surfaces d'ordre k. Montrons que ce

232 CHAPITRE VIH.

nombre est égal à kd — p. Il suffit, pour cela, de montrer que le nombre des conditions pour qu’une surface passe par (Gi, @o); (bi, b2), .….. est précisément égal à 2 et ne lui est pas inférieur ; nous n’aurons donc qu’à ajouter 2} au nombre des conditions déjà trouvé kd — 2h — p et nous trouverons ainsi Xd — p. Il en résultera que le groupe des points de rencontre de C avec une surface d'ordre X dépend d’au moins #d — p arbitraires, et, comme il ne peut lui être supérieur, la proposition sera établie. Or, il est aisé de voir que les 2} points

(Gi, @), (3, ba), …

sont bien indépendants les uns des autres au point de vue du nombre des conditions imposées à une surface d’ordre X passant par ces points ; en effet, dans le cas contraire, une surface d'ordre Æ passant par 2h — 1 de ces points passerait nécessairement par Le dernier. Mais cela n’est pas possible, car on peut avoir, par exemple, une surface d’ordre Æ passant par a», b,, b», ... et ne passant pas par &,. Pour le montrer, prenons un cône ayant pour sommet le point projetant considéré plus haut, et pour directrice une adjointe d'ordre # — 1 (qui est au moins égal à d — 3). Ce cône peut passer par D, b:, ... et ne pas passer par @, car on sait, d’après la théorie des courbes planes, qu’une courbe d'ordre supérieur ou égal à d — 3 peu passer par certains points doubles de la courbe sans passer par les autres. A la surface conique précédente adjoignons un plan quelconque passant par @, on aura une surface cherchée passant par tous les points (a, b, ...) sauf par le point &,.

En résumé, nous pouvons affirmer que le groupe des points de rencontre de la courbe C avec une surface d'ordre k dépend exactement de kd—p arbitraires. Ces raisonnements supposent