REGIS

Il résulte du théorème précédent qu'une surface d'ordre k, assujettie à passer par kd— p+1

points choisis arbitrairement sur C, contient nécessairement la courbe. Ainsi se trouve établi le théorème que nous avions en

vue : le nombre des conditions exprimant qu'une surface ? Al Là A d'ordre k(k2Zd — 2) passe par la courbe G est égal à

kd— p +1.

12. Nous avons supposé que la courbe gauche C n'avait pas de points singuliers ; il est intéressant, pour l'application à la théorie des surfaces, de considérer le cas où la courbe gauche C aurait un certain nombre # de points triples A,, A:,..., A; Considérons toutes les surfaces d'ordre Æ(ÆZd — 2) passant par les points triples et rencontrant C en six points confondus en chacun des points triples. On va voir facilement, en faisant usage d’un mode de raisonnement analogue à celui qui a été employé plus haut, que le groupe des

kd — Gt points variables est d'ordre kd— 6t— p.

En effet, parmi les surfaces remplissant la condition précédente se trouvent les cônes ayant pour sommet un point pris comme point de vue et pour bases les adjointes d’ordre Æ à la courbe F projection de C sur un certain plan. En désignant par 2 le nombre des points doubles apparents, on aura alors sur l un groupe de

points en nombre kd—2h—Gr, dont l’ordre sera kd—2h—6t—p.

Or, les 2h points (a&,, a»), (b,, b:), ... sont indépendants les uns des autres au point de vue du nombre des conditions imposées à une surface d’ordre k les contenant (on le verrait par un raisonnement analogue à celui du numéro ‘précédent ); il en résulte que les surfaces d’ordre Æ ayant six points de rencontre confondus avec chacun des points triples À, comme il arrive aux cônes qui viennent d'être considérés, détachent sur C un groupe de points

en nombre kd — 66,

dépendant exactement de

kd—6t—p

arbitraires. Or, soit u le nombre des conditions exprimant qu'une surface de degré k rencontre la courbe C en six points confondus en chacun des points triples, le nombre des conditions pour qu'une surface de degré k passe par la courbe sera

u+kd—6t—p+i

. ; ; puisque, avec ce nombre de conditions, nous exprimons qu une surface d'ordre k, rencontrant la courbe aux points triples de la manière indiquée, rencontre la courbe en

kd—6t—p+t

points arbitrairement pris sur elle, ce qui est impossible.

La question proposée revient donc à évaluer pt; à cet effet, on peut, par exemple, écrire que la surface doit passer par un point À et être langente, en ce point, à chacune des branches de la courbe C passant en A. On a ainsi, pour chaque point triple, quatre conditions, sé les trois tangentes à C au point À ne sont pas dans un même plan. D'autre part, les quatre conditions imposées en chacun des points singuliers À,, À,,..., ÀA;sont certainement indépendantes, car le fait, pour une surface d’ordre k(kZd— 2), de rencontrer C en un certain nombre de points triples A, soit qu'elle n’ait de contact avec aucune branche, soit qu’elle ait un contact avec quelqu’une des branches passant en ces points, n’entraîne nullement comme conséquence que la surface ait en ces points un contact plus intime que celui qui résulte des condions écrites, ou qu'elle passe par un autre des points triples. Pour s’en convaincre, il suffit de remarquer que, pour les courbes d'ordre Æ, dans le plan de l', les conditions relatives aux nombres des points de rencontre confondus en un point triple sont indépendantes.

Nous pouvons donc écrire

et nous avons, par suite, pour le nombre cherché des conditions exprimant qu'une surface d'ordre k(kZ2d— 2) passe par C,

Kd—2t— p—+1.

Ilest clair que cette formule pourra souvent être exacte quand # sera inférieur à d — 2, et, en employant des considérations analogues à celle du n° 10, on aura, dans bien des cas, une limite beaucoup moindre; mais il est inutile d’insister : le point que nous avons surtout en vue est que la formule précédente est applicable à partir d’une valeur suffisamment grande de k.

IV. — Expression numérique de p,; du genre numérique d’une surface.

13. De même que, dans la théorie des courbes planes, on exprime le genre de la courbe par une formule où figurent le uombre des singularités, supposées ordinaires, de la courbe (points doubles ou points multiples d'ordre quelconque à tangentes distinctes), on peut chercher à trouver une formule numérique donnant le genre géométrique p, d’une surface.

Comme il est bien connu, en désignant par X; le nombre des

points muluples d'ordre £, on a, pour une courbe d'ordre m,

(m—1)(m— 2 (I — 7. m —1)(m Dr 1).

La diminution du genre due aux singularités, par rapport au

genre - d’une courbe sans points singuliers, se trouve 9 2

représentée par le terme soustractif

Se

Considérons maintenant une surface de degré mn sans singularités : son genre géométrique égal à

Si la surface a des singularités, le genre p; peut se trouver diminué; nous écrirons

PE 6 Lu

: étant la diminution provenant de l’ensemble des singularités.

Mais ici des circonstances peuvent se présenter, qui Re se rencontraient pas dans la théorie des courbes.

44. Nous prendrons d'abord un cas particulier extrêmement simple ; nous avons dit que la présence d’un point multiple isolé d'ordre q irréductible entraîne, en général, pour la surface du sys-

tème canonique, un nombre de conditions égal à