CT ANG
Done, pour une surface d'ordre #7, avec un point multiple isolé d'ordre g, on aura
, (m—1)(m—2)(m —3) q(qg 1) q 2) PE G 6 .
Appliquons cette formule au cas d’un cône d'ordre 7», sans ligne double ; nous avons g — m, et la formule donne
Nous arrivons donc à ce résultat, que p, est négatif. Nous avons ainsi un exemple où la formule donne pour p,; un nombre négalif, tandis qu'il est clair que ps, d’après la définition même, est un nombre positif ou nul, et l’on a ici p; = 0.
Cette circonstance n’est pas la seule qui puisse se présenter. On pourra avoir, dans d’autres cas, une formule fournissant, en général, la valeur de p4, mais donnant, dans certains exemples, une valeur différente et inférieure à pz, tout en étant positive. IL pourra notamment arriver, les singularités se composant de diverses courbes multiples ou de divers points multiples isolés, que la diminution totale e dans la valeur de p, ne soit pas la somme des diminutions partielles provenant des diverses singularités partelles. C’est là un fait qui ne se présente jamais dans la théorie des courbes, où, dans la diminution du genre, chaque point singulier agit comme s’il était seul, comme le montre le terme
soustractif Ÿ 7. t(T—1)
dans la formule rappelée plus haut relative aux courbes planes. Prenons, pour vérifier cette assertion, le cas particulier suivant (1). Considérons les trois quadriques quelconques
Elles ont huit points communs A,, A;,, ..., A4. En désignant par ©, une forme homogène arbitraire de degré x en uw, +, w, formons l’équation
Pr(u, 0, Ww)= 0.
Elle représentera une surface d'ordre 27, ayant comme points singuliers isolés les points À qui sont des points multiples d'ordre n, ne présentant d’ailleurs aucune particularité. Un point muluple isolé général d'ordre » diminue, s’il est seul, le genre géométrique d’une surface de
unités. Donc ici, si dans la diminution du genre géométrique, chaque point À agissait comme s’il était seul, on aurait pour le genre de la surface
(an —1)(2n7—92)(2n—3) OURS ONE Se M
Le genre géométrique de la surface considérée serait donc r —1. Mais on voit aisément que ce résultat est inexact; les polynomes adjoints Q d'ordre 2 n — 4, dont le nombre donne p4, satisfont à la seule condition que la surface
Oo
ait les points À comme points multiples d'ordre n — 9. Or, la surface d'ordre 27 — 4
Jr),
où f, est un polynome arbitraire de degré nr — », homogène en
(‘) Cet exemple est emprunté à un Mémoire de M. Castelnuovo, Osservaziont intorno alla Geometria sopra una superficie (Rendic. Istituto Lombardo, 1891).
u, 9, w, remplit ces conditions, et elle dépend de n(n —1) —— paramètres; on a, par suile,
n(n—1) Pg2— > 2
résultat bien différent de la formule trouvée plus haut, qui donnait pg=n—1. Ainsi on voit, par cet exemple, que les conditions imposées aux adjointes du système canonique par les diverses singularités peuvent ne pas être indépendantes, et, par suite, la formule qui, dans d’autres cas, aurait donné exactement ps, donne une valeur moindre.
15. Dans l'exemple du numéro précédent, nous avions seulement des points singuliers isolés. Pour donner un exemple dans lequel se trouvent des lignes singulières, prenons une intéressante surface du sixième ordre étudiée par M. Noether (1). C’est une surface du sixième ordre ayant pour courbes doubles une courbe gauche C du quatrième ordre de genre un, et une droite D quine la rencontre pas. Nous formerons facilement, dans un moment, . l'équation d’une telle surface; 1l est clair que l’on a pour cette surface
Ps 0; car il ne peut y avoir de quadrique passant par C et D, puisque D ne rencontre pas C. D'autre part, voyons ce que nous trouverions pour ps en retranchant de
le nombre des conditions exprimant qu’une quadrique passe par C, augmenté du nombre des conditions exprimant qu'une quadrique passe par D; cette somme est égale (d’après la formule
kd — p +1) à 8 +3 ou TL
(!) NozrTner, Ueber eine Fläche 6x Ordnung vom Flächengeschlecht —1 (Math. Annalen, 1883).
nous trouverions donc pour le genre TO ou NS
Voici donc encore un exemple, à rapprocher de celui du cône d'ordre m, où la formule fournit pour le genre un nombre négatif. Indiquons maintenant la forme de l'équation de la surface.
Soient
les équations de deux plans donnant la droite D, et
